link4440 link4441 link4442 link4443 link4444 link4445 link4446 link4447 link4448 link4449 link4450 link4451 link4452 link4453 link4454 link4455 link4456 link4457 link4458 link4459 link4460 link4461 link4462 link4463 link4464 link4465 link4466 link4467 link4468 link4469 link4470 link4471 link4472 link4473 link4474 link4475 link4476 link4477 link4478 link4479 link4480 link4481 link4482 link4483 link4484 link4485 link4486 link4487 link4488 link4489 link4490 link4491 link4492 link4493 link4494 link4495 link4496 link4497 link4498 link4499 link4500 link4501 link4502 link4503 link4504 link4505 link4506 link4507 link4508 link4509 link4510 link4511 link4512 link4513 link4514 link4515 link4516 link4517 link4518 link4519 link4520 link4521 link4522 link4523 link4524 link4525 link4526 link4527 link4528 link4529 link4530 link4531 link4532 link4533 link4534 link4535 link4536 link4537 link4538 link4539 link4540 link4541 link4542 link4543 link4544 link4545 link4546 link4547 link4548 link4549 link4550 link4551 link4552 link4553 link4554 link4555 link4556 link4557 link4558 link4559
Рухманова Вера Вячеславовна
Должность:учитель
Группа:Посетители
Страна:Россия
Регион:Саратовская область
Урок по алгебре 11 класса "Как считать логарифмы еще быстрее"

Как считать логарифмы еще быстрее

Функция с одним логарифмом

Первая фишка идеально подходит для простых функций, в которых стоит только один логарифм. Она работает в тех задачах, где требуется найти значение функции (а не точку экстремума). В этом случае:

Выражение под знаком логарифма должно равняться единице.

Потому что ln 1 = 0.

Откуда берется это требование? А вы попробуйте сосчитать, например, ln 2 или ln 0,5. В обоих случаях получится иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. И только ln 1 = 0 — нормальное число.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 0]:

y = 3ln(x + 2) − 3x + 10.

Как видим, в задаче есть ровно один логарифм: ln(x + 2). Его аргумент должен быть равен единице:

x + 2 = 1;
x = −1.

Поскольку нас просят найти наибольшее значение функции, число x = −1 — не что иное как точка максимума. Находим значение функции в этой точке:

y (−2) = 3ln(−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 · 0 + 3 + 10 = 13

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [11/12; 13/12]:

y = 3x2 − 11x + 5ln x + 7

Снова приравниваем аргумент логарифма к единице:

x = 1

Подставляем это число в исходную функцию:

y (1) = 3 · 12 − 11 · 1 + 5 ln 1 + 7 = 3 − 11 + 5 · 0 + 7 = −1

Вдумчивый читатель возразит, мол, существует замечательное число e ≈ 2,7. И для него ln e = 1, ln e2 = 2 и т.д. Но составитель задач должен быть настоящим маньяком, чтобы «втиснуть» в функцию это число. Встреть такую задачу на ЕГЭ почти нереально.

Функция с несколькими логарифмами

Если функция содержит сразу несколько логарифмов, их надо объединить по правилам сложения и вычитания — см. «Основные свойства логарифмов».

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0,2; 1,2]:

y = 2x2 − 5x + ln (12x) − 7 − ln 12

Для начала объединим логарифмы и перепишем исходную функцию:

ln (12x) − ln 12 = ln (12x : 12) = ln x;
y = 2x2 − 5x + ln x − 7.

Остался один логарифм. Его аргумент должен быть равен единице:

x = 1

Находим значение функции в точке x = 1 — это и будет наибольшее значение:

y (1) = 2 · 12 − 5 · 1 + ln 1 − 7 = 2 − 5 + 0 − 7 = −10

Умножение логарифма на функцию

Если логарифм умножается на другую функцию, приведенные выше правила не работают. Взгляните на пример:

y = (x − 5) · ln x

Эта функция будет нормальным числом при x = 1, поскольку логарифм обнулится, и при x = 5, поскольку обнулится множитель (x − 5).

Такие задачи считаются только по стандартной схеме, через производную. Кстати, логарифм всегда будет только натуральный, потому что у него нормальная производная:

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 5]:

y = x · (ln x − ln 2 − 1)

Итак, логарифм умножается на другую функцию. Значит, специальные правила бесполезны — работаем по стандартной схеме. Считаем производную:

y´ = (x · (ln x − ln 2 − 1))´ = (x)´ · (ln x − ln 2 − 1) + x · (ln x − ln 2 − 1)´ = ln x − ln 2 − 1 + 1 = ln x − ln 2

Производная функции вполне адекватна. Приравниваем ее к нулю:

ln x − ln 2 = 0;
ln x = ln 2;
x = 2.

Точка x = 2 ∈ [1; 5], значит у нас три числа: 1; 2; 5. Подставляем их в исходную функцию:

y (1) = 1 · (ln 1 − ln 2 − 1) = −ln 2 − 1;
y (2) = 2 · (ln 2 − ln 2 − 1) = −2;
y (5) = 5 · (ln 5 − ln 2 − 1) = 5 · (ln (5 : 2) − 1) = 5 · (ln 2,5 − 1).

Первое и последнее число нам явно не подходят, поскольку их нельзя записать в ответ. Остается единственное значение функции: −2.

Выводы

В заключение, еще раз перечислю основные моменты:

1. Если в задаче только один логарифм-слагаемое, приравниваем его аргумент к единице;

2. Несколько логарифмов-слагаемых собираем в один логарифм. Далее работаем как в пункте 1;

3. Если логарифм умножается на число, перечисленные правила бесполезны. Работаем по стандартной схеме.

Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Разбираем вариант 96 (1-14) Полный цикл видеоуроков по задачам 1-14

8(B9). Точки графика, в которых производная равна нулю (вар. 42)


На рисунке изображен график функции y = f(x), определённой на интервале (-11;2).
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.


Если производная функции равна нулю, то угловой коэффициент касательной, проведённой
к графику функции в этой точке (или тангенс угла наклона касательной
к положительному направлению оси ОХ) тоже равен нулю.



Иначе говоря, касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.
Примеры таких касательных приведены на рисунке выше.



Осталось посчитать, сколько горизонтальных касательных можно провести.
На графике ровно семь соответствующих точек (их называют критическими).
Ответ: 7

Заметим заодно, что все эти точки являются и точками экстремума функции,
среди которых отличают точки максимума (красные) и минимума (жёлтые).


Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 25033

Обучающие модули в PowerPoint
В8_1. Производная [скачать, 86.11 Kb ].
В8_2. Производная [ скачать, 100.12 Kb ].
В8_3. Производная [ скачать, 105.96 Kb ]
В8_4. Производная [ скачать, 143.66 Kb]

1.

Прямая y = 7x — 5 параллельна касательной к графику функции y = x² + 6x — 8. Найдите абсциссу точки касания.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


2.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).



Правильный ответ: 4

Комментарии:
Решение показано на рисунке.
Изучи материал: подобное задание на слайде [скачать]

3.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


4.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–1; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = — 3. (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


5.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


6.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–2; 9). В какой точке отрезка [2; 6] f(x) принимает наибольшее значение? (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


7.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–8; 4). В какой точке отрезка [–7; –3] f(x) принимает наименьшее значение? (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


8.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–13; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [–8; 6].(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


9.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [–13; 1].(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).


10.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [–10; 10].

Наши услуги



Мир учителя © 2014–. Политика конфиденциальности