XXVI ставропольская краевая открытая научная конференция школьников
Секция: математика
Название работы: Исследование свойств плоских фигур с помощью перегибания листа бумаги (оригами)
Автор работы: Землина Анастасия Александровна
Место выполнения работы: с. Солдато-Александровское,
МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского», 8 класс
Научный руководитель: Кобзев Дмитрий Александрович, учитель математики МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского»
С. Солдато-Александровское, 2015
Оглавление
1. Введение 3
2. Основная часть 5
2.1. Теоретическая часть 5
2.1.1. Аксиоматический метод построения оригаметрии 5
2.1.2. Основные базовые формы 7
2.2. Обработка данных (экспериментальная часть) 8
2.2.1. Оригаметрия в исследовании свойств плоских фигур 8
2.2.2. Оригаметрия в решении задач на доказательство 11
2.2.3. Оригаметрия в построении многоугольников 12
3. Заключение 14
4. Список литературы 15
5. Приложения 16
Введение
Японская мудрость издревле гласит:
«Великий квадрат не имеет пределов».
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг увлечёт интересное дело.
А.Е. Гайдаенко
Сколько он несет в себе загадок и задач. Самое удивительное — рядом. Листок бумаги мы держим каждый день, не задумываясь, что он является одним из предметов изучения. Среди множества возможных действий с бумагой особое место занимает операция ее перегибания.
Актуальность темы исследования
Тема перегибания листа бумаги актуальна во все времена (им увлекались как в древности, так увлекаются и до сих пор), она интересна и занимательна. Складывание фигурок из бумаги имеет многовековую историю и своими корнями тесно связано с культурой Востока. Это японское искусство — оригами. Оригами дает возможность сделать занятия геометрией увлекательными и лучше усвоить учебный материал.
Одним из достоинств этой операции перегибания является то, что ее можно производить, не имея под рукой никаких дополнительных инструментов - ни линейки, ни циркуля, ни даже карандаша. Мы выбрали эту тему потому, что сама увлекаюсь оригами. В своей работе мы затрагиваем геометрию листа бумаги.
Практические свойства бумаги порождают своеобразную геометрию. Роль линий в этой геометрии будут играть края листа и складки, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения складок друг с другом или с краями листа. Оказывается, возможности операции перегибания листа очень велики. То, что они включают в себя всю геометрию одной линейки, не вызывает сомнений. Но они в определенной степени таят в себе также и возможности циркуля.
Перед тем, как приступить к началу своей работы, мы решили провести среди моих одноклассников опрос.
Нужно было ответить на вопросы:
1) Знаете ли вы, что такое оригами?
2) Знаете ли вы об оригамных возможностях при изучении геометрических тем?
Результаты опроса изображены на диаграмме (приложение 1)
Цель исследовательской работы:выяснить, возможно, ли применение листа бумаги для исследования свойств плоских фигур, решения задач на доказательство и построения многоугольников.
Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы по данной теме, провести эксперимент применения листа бумаги для исследования свойств плоских фигур, решения задач на доказательство и построения многоугольников.
Объект исследования:лист бумаги.
Предмет исследования: использование листа бумаги при изучении геометрии.
Гипотеза:можно ли использовать лист бумаги для исследования свойств плоских фигур, решения задач на доказательство и построения многоугольников?
Практическая значимость:
Складывание листа бумаги позволяет создать образную, наглядную модель геометрии. Изучение превращений квадратного листа бумаги, возможно, - один из наиболее интересных путей создания образов плоских и пространственных геометрических фигур и накопления практического опыта работы с ними, изучения серьезных вопросов геометрии.
Методы исследования: поиск нужной информации, работа с интернет источниками, анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение, эксперимент, обобщение результатов.
Этапы выполнения исследовательской работы:
· Этап «Сбор статистических данных».
Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.
· Этап «Обработка данных».
Включает в себя: эксперимент применения листа бумаги для исследования свойств плоских фигур, решения задач на доказательство и построения многоугольников.
· Этап «Анализ данных»
Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов.
Основная часть
Аксиоматический метод построения оригаметрии.
Рассмотрим оригами как математическую теорию, так как в ней работает аксиоматический метод.
Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги.
Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба.
Аксиомы оригаметрии предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита - набор из семи правил формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.
Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа - точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками - пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской. Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.
|
Правило1. Пусть заданы две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке. |
|
|
Правило 2. Пусть заданы две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую. |
|
|
Правило 3. Пусть заданы две прямые l1 и l2, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую. |
|
|
Правило 4. Пусть заданы прямая l1 и точка p1, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). |
|
|
Правило 5. Пусть заданы прямая l1 и две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что точка p2 попадёт на складку, а p1 — на прямую l1. |
|
|
Правило 6. Пусть заданы две прямые l1 и l2 и две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что точка p1 попадёт на прямую l1, а точка p2 попадёт на прямую l2. |
|
|
Правило 7. Пусть заданы две прямые l1 и l2 и точка p, тогда лист можно сложить так, что точка p попадёт на прямую l1, а прямая l2 перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). |
Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной.
Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки.
Основные базовые формы
Мастера оригами выделяют разное количество основных базовых форм. Так, например, Афонькины С.Ю. и Е.Ю. [1] рассматривают всего девять форм, у Сержантовой Т.Б. [5] их двенадцать, Выгонов В.В. [3] выделяет семнадцать базовых форм.
Мы проанализировали паттерны базовых форм. Паттерн получается при разворачивании собранной модели до исходного квадрата. Из сетки линий, которая возникает в процессе работы над моделью, выбираются только те, по которым физически согнута бумага в готовой модели. Паттерн является наиболее компактной формой записи готовой сложенной модели на плоскости. Это позволило нам сделать вывод о том, что основными линиями на них являются: одна или две диагонали квадрата; одна или две его средних линии; одна, две или три биссектрисы треугольников, получившихся при складывании.
Также мы смогли выделить паттерны, имеющие общие линии. На основе этого нами разработана схема взаимосвязи базовых форм (см. приложение 2.1).
Первым построением, во всех случаях, может быть только одно из двух: либо сгиб по диагонали квадрата, либо сгиб по его средней линии. Этот шаг определяет последовательность базовых форм, расположенных в правой части схемы. Если же при построении участвуют сгибы как по двум диагоналям, так и по двум средним линиям, то получаются цепочки базовых форм, представленных в левой части схемы.
Проведенный анализ базовых форм и их паттернов позволил нам определить наиболее рациональную, с точки зрения оригами, последовательность знакомства учащихся с геометрическими фигурами и их свойствами (см. приложение 2.2).
Обработка данных (экспериментальная часть)
Оригаметрия в исследовании свойств плоских фигур
(см. приложение 3)
Исследуем некоторые свойства квадрата.
Линия сгиба, проходящая через два противоположных угла А и С квадрата АВСD, есть диагональ AC этого квадрата. Другая диагональ BD получается перегибанием квадрата через другую пару противоположных углов. Точка пересечения диагоналей O называется центром квадрата. Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника, вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет по две равные стороны, т.е. эти треугольники равнобедренные. Кроме этого, эти треугольники и прямоугольные, так как каждый из них имеет по прямому углу.
Теперь снова сложим бумагу, наложив сторону АВ на противоположную ей CD. Получили сгиб EF, проходящий через центр квадрата.
Линия этого сгиба обладает следующими свойствами:
1) перпендикулярна двум другим сторонам квадрата
