XXVI ставропольская краевая открытая научная конференция школьников
Секция: математика
Название работы: Мир невозможных фигур
Автор работы: Казак Лада Алексеевна
Место выполнения работы: с. Солдато-Александровское,
МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского», 8 класс
Научный руководитель: Кобзев Дмитрий Александрович, учитель математики МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского»
С. Солдато-Александровское, 2015
Оглавление
1. Введение 3
2. Основная часть 5
2.1. Теоретическая часть 5
2.1.1. История невозможных фигур 5
2.1.2. Классификация невозможных фигур 6
2.1.3. Область применения невозможных фигур 7
2.1.4. Создание невозможных фигур 8
2.2. Обработка данных 9
3. Заключение 10
4. Список литературы 11
5. Приложения 12
Введение
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи вмешательства математики…
Ф.Бэкон
С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотела узнать о них больше.
Перед тем, как приступить к началу своей работы, я решила провести среди моих одноклассников опрос. Нужно было ответить на вопрос: знаете ли вы о существовании невозможных фигур? Результаты опроса изображены на диаграмме (приложение 1)
«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.
«Невозможная фигура — это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.
Актуальность темы исследования.
Понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.
Цель исследовательской работы:выяснить, как создаются нереальные фигуры, и найти области применения невозможных фигур.
Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы по данной теме, составить классификацию невозможных фигур и создать свои фигуры.
Объект исследования:мир невозможных фигур.
Предмет исследования: построение невозможных фигур.
Гипотеза:можно ли построить свои невозможные фигуры?
Практическая значимость:
Невозможные фигуры, пожалуй, самые завораживающие из всех существующих оптических иллюзий. Те фокусы, которые они проделывают с нашим воображением, и та игривость, с которой они смущают человеческую душу, делают их особенно увлекательными. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.
Методы исследования: поиск нужной информации, работа с интернет источниками, анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение, моделирование и обобщение результатов.
Этапы выполнения исследовательской работы:
· Этап «Сбор статистических данных».
Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.
· Этап «Обработка данных».
Включает в себя: заготовка моделей невозможных фигур на листе бумаги.
· Этап «Анализ данных»
Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рёйтерсверд (Oscar Reutersvard), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков (приложение 2). Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков (приложение 2). Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.
Независимо от Рёйтерсверда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад» (приложение 2). Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути, это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров: бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Также популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом (приложение 2). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Восхождение и спуск» («Ascending and Descending») (приложение 2)
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка» (приложение 2). При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
Кольца Борромео - одна из известных невозможных фигур, имеющая древнюю историю. Эта фигура основана на симметричной расстановке перекрывающих друг друга колец. Предполагая, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать в нашем мире. Для создания фигуры в трехмерном пространстве необходимы разрывы или искажения. Во все времена кольца Борромео служили символом "силы в единстве" (приложение 2)
Классификация невозможных фигур
«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рёйтерсверд. - специалист по созданию изображений невозможных фигур. Он утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.
За свою жизнь Рёйтерсверд изобразил около 2500 фигур. Книги Рёйтерсверда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.
Он разделил фигуры на две основные группы. Один из них - истинные невозможные фигуры. Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.
Другой вид — сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.
Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.
Приведу морфологическую таблицу классификации невозможных объектов, в которой можно найти основные типы невозможных фигур. Таблица не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов (приложение 3).
Область применения невозможных фигур
Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать.
Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.
В Швеции их применяют в зубоврачебной практике. Зубные врачи заметили, что пациенты, разглядывая сложные невозможные лестницы, отвлекали свое внимание от неприятного ожидания у двери стоматолога. Плакаты с изображением этих фигур размещали на удобном расстоянии от врачебных кресел.
Для дизайнеров и художников здесь вообще широкое поле деятельности. Среди иллюстраций можно найти буквы, выполненные по принципам невозможных фигур. Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом.
За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.
Наиболее известное использование невозможных фигур в логотипах автомобилей.
Невозможные фигуры, построенные по законам симметрии и асимметрии, могут стать неповторимыми по восприятию фирменными знаками.
Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках.
Создание невозможных фигур
Существует много способов создания невозможных фигур. Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (2-мерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном 3-мерном мире. Одной из самых простых фигур является невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) может существовать в нашем мире, но их комбинация невозможна в трехмерном пространстве. Восприятие всей фигуры, как композиции неправильных соединений между реальными частями фигуры, ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры, и не может воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру, но наталкивается на несоответствие.
С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки соединенные попарно друг с другом, и притом соединенные по 3 разным осям декартовой системы координат образуют замкнутую фигуру.
Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги — это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (3-мерных объектов). Существует множество способов создания 3-мерных объектов. Одним из них является использование кривых линий, из которых состоят стороны невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны будут выглядеть прямыми, и поставленная цель будет достигнута — создан реальный невозможный объект.
Обработка данных
Для создания своих рисунков в представленном направлении, мне потребовалось рассмотреть множество изображений невозможных фигур. Создавала много эскизов, чтобы выбрать самый подходящий вариант и создать рисунок. Взяв получившиеся эскизы, я стала разрабатывать конечный рисунок и претворять его в жизнь. Я решила сделать цветные изображения, используя цветные карандаши. Для изображения использовала простые чертежи (цифры и латинские буквы) и сложные чертежи.
|
Простые чертежи |
||
|
Сложные чертежи |
||
