Россия, г.Москва
ГБОУ СОШ №176
Учитель математики
Горбатюк Светлана
Известно, что математическая задача служит не только целью, но и средством обучения.
Умение решать геометрические задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса планиметрии и умелом приложении своих знаний к конкретной задачной ситуации. Порой, учащиеся, зная и понятия теории, и содержание основных положений, испытывают затруднения в соотнесении всех этих знаний со структурой теории в целом, т. е. в их знаниях отсутствует именно эта система. Рассматриваемые ключевые задачи представляют формулировку факта или представление метода решения, часто используемого в других задачах.
Для каждой ключевой задачи рассматривается 3-4 приложения в задачах с намеченной канвой решения, заполняются пропуски в ходе решения и обсуждения, а также задачи для самостоятельного решения.
Стоит подчеркнуть, самые « очевидные» факты требуется строго обосновывать. Всегда обращаем внимание , что начинаем решать задачу с анализа содержания условия задачи, развития её сюжетной линии, Ссылаемся на используемые методы решения, отслеживаем причинно- следственные связи в рассуждениях.
Предлагаемые задачи можно использовать на элективных курсах или предлагать как практические задания на занятиях в классах с хорошим уровнем подготовки.
Ключевая задача №1.
О параллельных прямых, пересекающих стороны угла.
Если на одной стороне угла отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то будет прослеживаться пропорциональность образовавшихся отрезков.
Ясно, что соотношение (1) следует из подобия треугольников ОА1В 1 и ОА2 В2(по двум углам).
Докажите равенство (2)_____________________________________
1.1 Высота CD треугольника АВС делит медиану ВМ в соотношении 3 : 1, считая от вершины В.
В каком соотношении СD делит сторону АВ, считая от вершины А? (рис2) Рис.2.
Решение:
Эта задача примечательна тем, что для использования ключевой задачи 1 требуется провести дополнительные построения.
Строим МК параллельно СD. Ясно, что МК перпендикулярно АВ.
Рассмотрим угол САD , стороны которого пересекают параллельные прямые МК и СD. Тогда, поскольку АМ = МС, то АК = КD ( следует из ключевой задачи 1 , равенство( ), к углу______________).
То есть ВD /KD = 3/1; ВD = 3 KD. Тогда AD/ BD=2KD/3KD = 2/3
Ответ: 2/3.
1.2
Построить отрезок х = а2 / b, где а и в длины данных отрезков.
Решение: Решение задачи на построение, как правило состоит из четырёх этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.
1.Анализ. На этом этапе предполагается, что искомый отрезок найден. Рассмотрим произвольный угол с вершиной О, стороны которого пересекают параллельные прямые АВ и АВ ( см. рис.1)
Как в виде пропорции следует записать равенство х = а2 / b
Какое равенство ключевой задачи следует использовать для решения этой задачи?___________________
Укажите на рисунке 1, каким образом следует расположить отрезки а, а, в и х на сторонах угла?
2. Построение. Опишите последовательность шагов построения искомого отрезка.
3 . Доказательство. Докажите, что построенный отрезок удовлетворяет условиям задачи __________
Придумайте задачи на построение с использованием соотношения(2) ключевой задачи 1. Например. Постройте отрезки а2 /b2, abc /de , … .
1.1 В остроугольном треугольнике АВС
Рис.3
длины медиан ВМ, СN и высоты AH
равны соответственно 4,5,6.
Найдите площадь треугольника АВС.
Решение:
1)ВМ=4,CN=5,AH=6/(по условию) ВМ пересекает СN в точке О
2) Для нахождения площади АВС ( )нужно найти длину ВС
3)Каждая из медиан ВМ и CN делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершин В и С ( следует из )
ВО=8/3; СО=10/3 ( СО = )
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на ВС. Тогда из прямоугольных треугольников ОВК и ОСК по теореме Пифагора найдём
ВК и СК.
ВК2 = ( 8/3)2 - ( ОК )2 , СК2 =(10/3)2 -( OK)2
4)Следующий шаг—нахождение длины ОК.
Применяя ключевую задачу 1 к углу NCT получим
ОК=___________NT, а NT=1/2 .AH
Значит, ОК=_________________AH, ВК=___________, СК=_________
5)Таким образом, ВС = ВК+КС =______________
Sавс=1/2AH. BC= 2 +8
(Из этой задачи выделим факт, который будем использовать в дальнейшем : расстояние от точки пересечения медиан до стороны треугольника в 3 раза меньше высоты, опущенной на эту сторону)
Задачи для самостоятельного решения
1
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС ) ортоцентр делит пополам расстояние между центром описанной окружности и основанием. Определите косинус угла ABC
Ответ:2/3
2.
Длина основания АС треугольника АВС равна3, а медиана AD=4. Высота АЕ делит медиану AD пополам. Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 6
Ключевая задача 2
О медиане, проведенной к гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Рис.4. Доказательство:
Используем метод удвоения медианы. Пусть CD - медиана. Продолжим медиану CD и от точки D отложим отрезок DM = CD. Получим четырёхугольник ACBM (рис.4)
По определению, признаку или свойству параллелограмма следует, что ACBM- параллелограмм?__________________ ,
То, чтоACBM- прямоугольник, следует из ___________,
AD=BD=CD следует из_____________
Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром окружности, описанной около треугольника.
2.1 В треугольнике АВС медианы , выходящие из вершин А и С, взаимно перпендикулярны. Найти отношение медианы, проведенной к стороне АС, к стороне АС . ( рис.5)
Рис.5
Решение:
1)AK и СN - медианы( по условию)
2)Проведём прямую ВМ до пересечения со стороной АС. ВТ-медиана, так как__________ .
Тогда Т — середина АС
3) Требуется найти ВТ / АС.
4)Треугольник АМС прямоугольный, МТ — медиана, проведённая из вершины
прямого угла. Тогда по ключевой задаче 2 МТ = АТ = СТ = х и АС = 2х .
5)ВМ=2х (по___________________ )
ВТ /АС=3х/2х=3/2.
Ответ: 1,5
2.2 Периметр параллелограмма АВСD 80 cм. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М,
такой , что ВС делит АМ
Рис.6
пополам. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: (рис. 6)
1)Обозначим длины сторон параллелограмма АВ = а, АD = в. По условию, периметр параллелограмма равен 80 см. т. е.2(а + в) = 80, или а + в =40.
2)АВ пересекает ВС в точке К, DМ пересекает ВС в точке N.
3)Треугольник АВК - равнобедренный ( так как____________ ),
АВ =ВК = а.
4) Треугольник СDN — равнобедренный (так как___________ ) ,CD =CN = а.
5)АМ =DM- биссектрисы углов А и D. Тогда угол АМD прямой (так как________________ ).
6)Проведём АМ — медиану треугольника AMD. Тогда МТ пересекает ВС в точке S. Точка S делит КN и МТ пополам ( так как_________ ) .
Из ключевой задачи 2 следует, что МТ =0,5, АD =0,5в или ST =0,25в, но ST =a ?(почему _______ )
а=_________, в= ______.
Ответ: а =_____, в =______.
2.3 В треугольнике АВС угол А равен 45, АВ =7, АС =4
Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АСА1 и ВАА1 где АА1 высота треугольника АВС.
Решение:
Пусть точка О 1 –центр окружности, Рис.7
описанной около треугольника АСА1 ,
точка О2—центр окружности,
описанной около треугольника АА1В . (рис.7 )
Найдём длину О1О2:
Треугольники АСА1 и АА1В — прямоугольные, отсюда О1 и О2
-середины отрезков АС и АВ ( следует из ____________ ).
О 1О2 — средняя линия треугольника АВС , тогда О1 О2 =1/2 ВС. По теореме косинусов для треугольника АВС найдём
ВС2 =АВ2 +АС2 2АВ АС2·7·4- 56=25.
ВС=5, О1О2 = = 2.5.
Ответ:2.5.
Задачи для самостоятельного решения
1. Окружность, диаметром которой служит сторона АС треугольника АВ, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найдите отношение длины стороны АС к длине проведённой к ней медианы.
Ответ: 2/3.
2. Гипотенуза прямоугольника треугольника в 4 раза больше проведённой к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.
Ответ: 15 ,75.
3. Длина средней линии трапеции равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований.- 3. Углы при большем основании равны 30 и 60 градусов. Найдите основания трапеции и её площадь.
Ответ:
