Казахстан,Костанайская область г. Костанай

ГУ «Алтынсаринская основная школа»

отдела образования акимата Костанайского района

Учитель математики и физики

Байкунов Валерий Шаймуханович

«Формулы сложения и формулы двойного аргумента».

Цели и задачи урока :

Образовательные — повторить формулы сложения, вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.

Развивающие — вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.

Воспитательные — побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.

Ожидаемый результат: Каждый учащийся должен знать формулы сложения, вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов обучения.

План урока:

Организационно-мотивационный этап.

Повторение

Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Изучение нового материала.

Домашнее задание.

Итог урока.

Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Ход урока

1 Организационно –мотивационный этап.

2 Повторение (слайды).

Сегодня мы вспомним как делится единичная окружность на четверти и расставим на окружности точки, соответствующие числам: 0; π/6; π/4; π/3; π/2.

Слайд 1. (Приложение 1)

Устно, используя изображение нескольких точек, расположить остальные по окружности до 2π.

Слайд 2. (появляются числа 2π/3; 2π/4; 2π/6 и т. д.)

Введём определение синуса, косинуса числа t.

Слайд 3.

Определение.

Если точка М соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Используя слайд 2 с числами на оси Ox и Oy расширим диапазон значений для cos t и sin t.

Устно посчитать значения sin t и сos t до 2π.

Слайд 4.

Слайд 5.

sin(-t) = -sin t;

cos(-t) = cos t.

Слайд 6.

sin(t+2k) = sin t;

cos(t+2k) = cos t.

Слайд 7.

sin(t+π) = -sin t;

cos(t+ π) = -cos t.

Слайд 8.

sin(t+ π /2) = cos t;

cos(t+ π /2) = -sin t.

Слайд 9. все вместе формулы без рисунка

Сегодня на уроке мы выведем формулы тригонометрии — формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения. Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.

Презентация.

3. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов. Вызываются 3 учащихся, которые на 3 досках записывают отдельно эти формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;

cos(x+y) = cosxcosy — sinxsiny;

Далее учащиеся устно работают с места.

№1 Упростить выражение:

a) cosα∙cos3α - sinα∙sin3α;

б) sin2α∙cosα + cos2α∙sinα;

в) sinα∙cos3α + cosα∙sin3α;

г) .

№2 Вычислить:

a) sin10⁰∙cos20⁰ + cos10⁰∙sin20⁰;

б ) cos18⁰∙cos12⁰ — sin18⁰∙sin12⁰;

в) sin40⁰∙cos5⁰ + cos40⁰∙ sin5⁰;

г) cos7⁰∙cos38⁰ — sin7⁰∙sin38⁰;

д) .

4. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения.

Если положить в формулах, записанных вами в начале урока на доске x= y, то получаем:

1) sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

sin2x=2sinxcosx

2) cos(x+y) = cosxcosy — sinxsiny

cos2x = cosxcox — sinxsinx = cos²x — sin²x

cos2x= cos²x — sin²x

3) tg(x+y) =

tg2x =

tg2x

Каждую из 3-х формул выводит 1 ученик.

Рассмотреть варианты применения данных формул.

sin10x = 2sin5xcos5x

cos(8x — 14y) = cos²(4x — 7y) — sin²(4x — 7y)

tg

2sin7xcos7x = sin14x

cos²3,5t - sin²3,5t = cos7t

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos ²x — sin²x

1. Доказать тождество:

cos2x = 1 — 2sin²x

cos2x = cos²x — sin²x = (1 - sin²x) - sin²x = 1 - 2 sin²x

cos2x = 1 - 2 sin²x

2. Доказать тождество:

cos2x = 2cos²x — 1

cos2x = cos²x — sin²x = cos²x — (1 - cos²x) = 2cos²x — 1

cos2x = 2cos²x — 1

3. Выразить sin²x из равенства:

cos2x = 1 - 2sin²x

2 sin²x = 1 — cos2x

sin²x =

4. Выразить cos²x из равенства:

cos2x = 2cos²x — 1

cos2x+1 = 2cos²x

2cos²x = cos2x+1

cos²x =

Итак, выполняя №1 и №2, мы получили еще два варианта формулы двойного аргумента, а выполняя №3 и №4, вывели формулы понижения степени.

5. Домашнее задание.

Учить формулы, выполнить тест по вариантам. Ученики получают карточки.

1 Вариант

2 Вариант

5. Итог урока.

Что нового узнали на уроке?

Довольны ли вы своей работой на уроке?

6. Закрепление изученного материала. Контрольный срез.

Учащиеся выполняют работу на карточках с дифференцированными заданиями по теме урока (самопроверка).

1 вариант.

№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

а)

Ответ:

1) 4/3;

2) 4/3cosx;

3) 2/3;

4) 4/3ctgx.

б)

Ответ:

1) cos20;

2) 2cos20;

3) ctg20;

4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

а)

Ответ:

1) 3tgx;

2) 3sinx;

3) 1.5sinx;

4) 3tg2x.

б) cos²t — cos2t =

Ответ:

1) sin²t;

2) -sin² t;

3) 2cos² t+sin² t;

4) другой ответ.

2 вариант.

№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

а)

Ответ:

1) -3tg2x;

2) 3sin2 x;

3) 6 tgx;

4) 3tg2 x.

б)

Ответ:

1) 3/2;

2) 2/3;

3) 2/3sin2x;

4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

а)

Ответ:

1) tg2x;

2) 2sinx;

3) 1/2sinx;

4) 1/2 + tgx.

б) cos2t + sin²t =

Ответ:

1) cos²t;

2) 2sint;

3) cost-sint;

4) другой ответ.

Проверяются верные ответы.

1 вариант:

№1 а) 1; б) 2.

№2 а) 2;б) 1.

2 вариант:

№1 а) 4; б) 2.

№2 а) 3; б) 1.

Учащиеся поднимают руку, кто при выполнении работы сделал 2 ошибки, затем — кто одну ошибку и, наконец, кто не сделал ни одной ошибки, выполнил всё полностью и верно.

Молодцы ребята, отлично поработали.

Ученики сдают карточки на проверку учителю.

Спасибо за урок!