Казахстан, Павлодарская область, г.Экибастуз
КГУ "Средняя общеобразовательная школа №13
Учителя математики
Имакова Саружамал Абилькиятовна
Учителя математики
Бараисова Жанна Раимбековна
Программа спецкурса рассчитана на учащихся профильных 10-11 классов естественно- математического направления. Курс служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для формирования навыков преобразований над тригонометрическими выражениями; дает представление о межпредметных связях математики и физики.
Данный курс представляется особенно актуальным, так как вооружает учащихся глубокими теоретическими знаниями по тригонометрии. В отличие от программы, предусмотренной Госстандартом, спецкурс дает четкие представления об основах тригонометрии. Курс « Тригонометрия» предполагает изучение всех основных тем, связанных с изучением тригонометрических функций. Предложенная последовательность изучения тем по тригонометрии позволяет рассмотреть вопросы, не проработанные в общем курсе школьной математики, способствует целостному восприятию тригонометрии, что обеспечивает преемственность обучения математики в школе и высших учебных заведениях.
В процессе изучения курса разбираются задачи по тригонометрии, в определенной мере необходимые как при обучении в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕНТ.
Курс опирается на те знания, умения и навыки, которые были получены ими в процессе изучения базового курса по математике, создает условия для развития творческих способностей, аналитического мышления, формирования функциональной грамотности в процессе разных видов интеллектуальной деятельности учащихся.
Наряду с такими формами организации занятий как лекция и семинар, можно использовать как классические типы уроков, так и нетрадиционные (урок открытых мыслей, урок- конференция и т.д.).
В значительной степени следует использовать методы самостоятельной познавательной деятельности, проблемного обучения (эвристический, исследовательский, алгоритмический и программированный метод). Возможны различные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся.
Для каждой главы подобраны упражнения и задачи для самостоятельного решения (приложение №1). Результаты обучения контролируются через проверочные работы (приложение №2)
Основные цели обучения
- овладение математическими знаниями, необходимыми для дальнейшего углубленного изучения предмета и продолжения образования;
- изучение тригонометрических функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функции, подготовка необходимого аппарата для изучения смежных дисциплин;
- развитие формально- оперативных алгебраических и вычислительных умений учащихся до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач повышенной сложности.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения спецкурса учащиеся должны уметь:
- проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений;
- сформировать умение решать тригонометрические уравнения и неравенства и их системы;
- находить производные и первообразные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Содержание программы
Глава I Тригонометрические функции числового аргумента (12 часов)
Обобщение понятия угла, радианное измерение углов и дуг. Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс действительного числа.
Знаки тригонометрических функций. Простейшие свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. Зависимости между тригонометрических функций. Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них. Доказательство тождеств. Общность формул приведения. Графики тригонометрических функций. Нахождение множества значений функций.
Глава II Теоремы сложения для тригонометрических функций и их следствия
(14 часов)
Синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух аргументов. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы понижения степени. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму и наоборот. Преобразование выражения: а sin + b cos .Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла. Введение вспомогательного угла. Преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.
Глава III Обратные тригонометрические функции (8 часов)
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции:
arcsinx + arccosx = ; arctgx + arcctgx = ;
arcsinx = arccos = arctg = arcctg ;
arctg x= arcctg = arccos= arcsin. Примеры на обратные тригонометрические функции.
Глава IV Тригонометрические уравнения и их системы. (16 часов)
Простейшие тригонометрические уравнения :sinkx =a; coskx = a; tgkx =a; ctgkx = a. Общий вид простейших тригонометрических уравнений: sin(kx+в) =a; cos(kx+ в) = a; tg(kx+ в) =a; ctg(kx + в) = a.Преобразование тригонометрических уравнений к алгебраическим уравнениям. Решение тригонометрических уравнений методом разложения левой части уравнения на множители; разложение на множители с применением формул разности синусов и косинусов. Однородные уравнения первой и второй степени. Уравнения вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d. Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановки tg () = t. Применение формул преобразования произведений тригонометрических функций в сумму и разность. Решение уравнений с помощью подстановки(sinx ± cosx) = t. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла. Применение формул понижения степени. Уравнения повышенной сложности. Посторонние корни и потеря корней Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Системы тригонометрических уравнений.
Глава V Тригонометрические неравенства (6 часов)
Тригонометрические неравенства вида: sinx≤ a, cosx≤ a,tgx≤ a, ctgx≤ a, sinx≥ a, cosx ≥ a,
tgx ≥ a, ctgx≥ a. Неравенства , непосредственно сводящиеся к простейшим. Решение неравенств вида a sinx + b cosx ≤ c( или ≥с). Решение тригонометрических неравенств заменой переменной. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов.
Глава VI Производные и первообразные тригонометрических функций (8часов)
Производные функций : y = sinx, y =cosx, y = tgx, y = ctgx, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx . Исследование тригонометрических функций на монотонность с помощью производных.
Первообразные для тригонометрических функций, для функций: f(x) =
f(x) =Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел вращения с использованием тригонометрических функций.
Глава VII Повторение — 4 часа
Нормативная часть
10 класс
1 час в неделю, всего 34 часа
|
№ |
Содержание |
Лекция |
Семинар |
|
|
Глава I Тригонометрические функции числового аргумента (12 часов)
|
|
|
|
1 |
Обобщение понятия угла, радианное измерение углов и дуг |
0,5 |
0,5 |
|
2 |
Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс действительного числа. |
0,5 |
0,5 |
|
3 |
Знаки тригонометрических функций. |
1 |
|
|
4 |
Простейшие свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. |
1 |
|
|
5 |
Зависимости между тригонометрических функций. |
1 |
|
|
6 |
Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них. |
1 |
|
|
7 |
Доказательство тождеств |
1 |
|
|
8 |
Общность формул приведения. |
1 |
|
|
9 |
Графики тригонометрических функций. |
1 |
|
|
10 |
Нахождение множества значений функций. |
1 |
|
|
11 |
Упражнения |
1 |
|
|
12 |
Проверочная работа №1 — 1 ч |
||
|
|
Глава II Теоремы сложения для тригонометрических функций и их следствия (14 часов)
|
||
|
1 |
Синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух аргументов. |
1 |
1 |
|
2 |
Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента |
0,5 |
0,5 |
|
3 |
Формулы понижения степени. |
1 |
|
|
4 |
Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму и наоборот. |
1 |
1 |
|
5 |
Преобразование выражения: а sin + b cos |
1 |
|
|
6 |
Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла. |
1 |
1 |
|
7 |
Введение вспомогательного угла. |
1 |
1 |
|
8 |
Преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств. |
1 |
|
|
9 |
Упражнения |
1 |
|
|
10 |
Проверочная работа № 2 — 1 ч |
||
|
|
Глава III Обратные тригонометрические функции (8 часов)
|
||
|
1 |
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. |
1 |
1 |
|
2 |
Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции: arcsinx + arccosx = ; arctgx + arcctgx = |
0,5 |
1 |
|
3 |
Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции: arcsinx = arccos = arctg = arcctg |
0,5 |
0,5 |
|
4 |
Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции: arctg x= arcctg = arccos= arcsin. |
0,5 |
0,5 |
|
5 |
Примеры на обратные тригонометрические функции. |
1 |
|
|
6 |
Упражнения |
1 |
|
|
7 |
Проверочная работа № 3 — 0,5 ч |
||
|
11 класс ,1 час в неделю, всего 34 часа
|
|||
|
Глава IV Тригонометрические уравнения и их системы. (16 часов) |
|||
|
1 |
Простейшие тригонометрические уравнения : sinkx =a; coskx = a; tgkx =a; ctgkx = a. |
0,5 |
|
|
2 |
Общий вид простейших тригонометрических уравнений: sin(kx+в) =a; cos(kx+ в) = a; tg(kx+ в) =a; ctg(kx + в) = a. |
0,5 |
|
|
3 |
Преобразование тригонометрических уравнений к алгебраическим уравнениям. |
1 |
|
|
4 |
Решение тригонометрических уравнений методом разложения левой части уравнения на множители |
1 |
|
|
5 |
Разложение на множители с применением формул разности синусов и косинусов. |
1 |
|
|
6 |
Однородные уравнения первой и второй степени. |
1 |
|
|
7 |
Уравнения вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d. |
1 |
|
|
8 |
Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановки tg () = t |
0,5 |
0,5 |
|
9 |
Применение формул преобразования произведений тригонометрических функций в сумму и разность. |
0,5 |
0,5 |
|
10 |
Решение уравнений с помощью подстановки(sinx ± cosx) = t |
1 |
|
|
11 |
Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла. |
0,5 |
|
|
12 |
Применение формул понижения степени. |
0,5 |
|
|
13 |
Уравнения повышенной сложности. |
1 |
|
|
14 |
Посторонние корни и потеря корней |
1 |
|
|
15 |
Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. |
1 |
|
|
16 |
Системы тригонометрических уравнений. |
1 |
|
|
17 |
Упражнения |
1 |
|
|
18 |
Проверочная работа № 4 — 1 ч |
||
|
Глава V Тригонометрические неравенства (6 часов) |
|||
|
1 |
Тригонометрические неравенства вида: sinx≤ a, cosx≤ a,tgx≤ a, ctgx≤ a, sinx≥ a, cosx ≥ a, tgx ≥ a, ctgx≥ a. |
0,5 |
1 |
|
2 |
Неравенства, непосредственно сводящиеся к простейшим. |
0,5 |
0,5 |
|
3 |
Решение неравенств вида a sinx + b cosx ≤ c( или ≥с). |
0,5 |
0,5 |
|
4 |
Решение тригонометрических неравенств заменой переменной. |
1 |
|
|
5 |
Решение тригонометрических неравенств методом интервалов. |
1 |
|
|
6 |
Проверочная работа № 5 — 0,5ч |
||
|
Глава VI Производные и первообразные тригонометрических функций (8часов) |
|||
|
1 |
Производные функций : y = sinx, y =cosx, y = tgx, y = ctgx, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx . |
0,5 |
0,5 |
|
2 |
Исследование тригонометрических функций на монотонность с помощью производных. |
0,5 |
1 |
|
3 |
Первообразные для тригонометрических функций, для функций: f(x) = f(x) = |
1 |
1 |
|
4 |
Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур тел с использованием тригонометрических функций. |
1 |
|
|
5 |
Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел вращения с использованием тригонометрических функций. |
1 |
|
|
6 |
Упражнения |
1 |
|
|
7 |
Проверочная работа № 6 - 0,5ч |
||
|
Глава VII Повторение — 4 часа |
Приложение №1
Упражнения для самостоятельной работы
Тригонометрические функции числового аргумента
1. Определите знак числа:
sin80; tg5; sin10000; cos19890 .
2. Определите знак произведения:
1) cos3500 sin; 2) sin ctg 2500; 3) tg9010 ctg 10780; 4) .
3.Вычислите без помощи таблиц и калькулятора:
1) tg5700 + cos2100; 2) cos - cos + cos ; 3) sin150; 4) tg750.
4. 1)Точка Рt единичной окружности имеет координаты (. Найдите значение cost, sint. Найдите значение sin , cos, sin (- 6300), cos(- 6300).
2) Точка Рt единичной окружности имеет координаты (-0,8; - 0,6). Найдите значение tgt и ctgt. Найти значение ctg , tg, ctg (-4500) , tg 5400
5. Найдите длину дуги радиуса 5 см, радианная мера которой равна
6. Найдите площадь сектора радиуса м, радианная мера дуги которого равна 0,7.
7. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью соответствующей тригонометрической функции, запишите данное значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом градусов или радиан
1) tg1390; 2) cos 27430; 3) sin ; 4) sin 10500; 5) cos ; 6) tg21300; 7) ctg;
8) sin21600; 9) cos17560; 10) cos; 11) tg15900; 12) sin 22800; 13) tg
8. Найти наименьший положительный период:
1) f(x) = sinx cosx; 2) f(x) = cos3x cosx + sin3x cosx; 3) f(x) = 5tg ; 4) f(x) = tg ( 2x - ).
9. Какие из функций : 1) y = 2sinx cos2x tg3x ; 2) y = x2 cosx ctg3x; 3) y = 2cos(x + ) sinx;
4) y = 3x2 + 2sin5x cosx являются четными, какие нечетными, а какие ни четными, ни нечетными?
10. 1) Выразите в радианной мере величины углов 660, 1560, 720, 1400, 640, 1600.
2) Выразите в градусной мере величины углов ; ; ; ; ; .
11.Упростите выражения:
1) ( sin - cos )2 — 1 + 4sin2; 2) ; 3) 2cos2 - (cos2 - sin2);
4) cos - sin ctg; 5) 1 + ctg(+ )tg(; 6) 1 + tg (+ ) ctg(;
7) sin2x + 2cos2x — 1; 8) + tgx ctgx; 9) cos2x + ( 1 — sin2x); 10) (1- sinx) (1 + sinx)
12. 1) Дано: tg= , << 1,5.Найти: cos , sin.
2) Дано: sin= -, 1,5<< 2.Найти: cos , tg.
3) Чему равен cos, если sin= , 0,5<<
13. Доказать тождества:
1) ; 2) ; 3) 1 - tgctg2= ;
4) 4sin4 - 4sin2 = cos2 - 1; 5) 16 sin100 sin300 sin500sin700 = 1
14. Найдите значения выражений:
1) при х = - ; 2) при х=;
3); 4)
15. Докажите, что значение выражения :
1) отрицательно при х=1500;
2)положительно при х=;
3) отрицательно при =;
4)положительно при х=.
16. 1) Начертите график функции y=sin x на отрезке . Отметьте на этом графике множество точек, для которых выполняются условия: а) sin x=0,5; б) sin x=1; в) sin x>0,5.
Выпишите соответствие значения х, при которых выполняется каждое из условий.
2)Начертите график функций y=cos x на отрезке . Отметьте на этом графике множество точек, для которых выполняются условия: а) cos x=0,5; б) cos x=1; в) cos x>0,5.
Выпишите соответствие значения х, при которых выполняется каждое из условий
3)Начертите график функций y=tg x на отрезке . Отметьте на этом графике множество точек, для которых выполняются условия: а) tg x=1; б) tg x<1
Выпишите соответствие значения х, при которых выполняется каждое из условий
17. Найдите область определения и множество значений функций:
1) f(x) = ; 2) f(x) = 3 — tg2x; 3) f(x) =
18. 1)Расположите в порядке убывания числа sin (-3000) , sin(-2500), sin(-1500),
sin200, sin400;
2) Расположите в порядке убывания числа cos100, cos700, cos(-200), sin150
19. 1) Запишите промежутки возрастания и убывания функции y = sin4x.
2) Запишите промежутки возрастания и убывания функции y = sin.
3) Постройте график функции ( изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению)
а) y=sin2x; б) y = cos ; в) y = tg (3x +); г) y =
4) Для каждой из следующих функций найдите наименьший период или докажите ее непериодичность:
а) y = cos2x + cos3x; б) y = sin3x; в) y = sinx2; г) y = cos
Теоремы сложения для тригонометрических функций и их следствия
1. Упростите:
1) sin() - cosx; 2) cos(+ cos();
3) sin() sin() — cos() cos(); 4) cos;
5) sin() + sin(); 6) sin() - sin();
7) sin sin- coscos; 8)
2. Вычислите:
1) sin640 cos260 + cos 640sin260; 2) sin70 cos230 + cos70 sin230;
3) ; 4) ;
5) (cos180cos70 - sin180sin70)2 + (sin190cos60 + cos190sin60 )2;
3. Доказать тождества:
1) sin ( cosx — cos(sinx = 0,5;
2) cos() = sin( )cos( - sin2();
3) cos(cosx + sin(sinx = 0,5;
4) = tg() ctg(); 5) = ctg() tg();
6)
4. 1) Дано : sin = , 900 << 1800. Найдите sin2, cos2.
2) Известно, что cos, < <.Найдите cos2, tg 2
3) Известно, что cos и sin < 0. Найдите sin4, ctg
4) Вычислите cos, если sin= .
5) Вычислите sin2, если cos= 1.
6) Дано tg = , < <. Найдите ctg2, cos .
7) Найдите tg2, sin, если sin, 1,5< < 2
8) Дано: cos = - 0,8; 0,5< < . Найдите tg0,5; tg2
5. Упростите выражения:
1) ; 2) .
6. Преобразуйте выражение () в произведение тригонометрических функций.
7. Вычислите:
1)coscos; 2) cos750 – cos150; 3) sin2000+ sin200;
4) cos1050+cos750 + 1,5 5) ; 6) cos1050 — cos750
8. Доказать тождества:
1) sin9 +3sin7 +3 sin5 +sin3= 8sin6cos3;
2) ; 3) ;
4)cos4 - sin4 + sin2 = cos(2-);
5) tg
Обратные тригонометрические функции
Вычислите:
1) arcsin (sin(-)) ; 2) arcsin (sin); 3) sin(arcsin(-)); 4) arctg1 + arctg ;
5) arccos (-1) + arcsin (-1); 6) arctg (-) + arccos (- ); 6) arccos (cos );
7) arctg ( tg (-3010)); 8) arcos (sin (-)); 9) arcctg ( ctg (-); 10) ctg ( arcctg ).
Найти значения выражений:
1) sin (arcos (-) — arctg (-); 2) cos( arcctg (-) + arctg(-) + arctg 1;
3) tg (arcsin (-) + arcos (-) + arctg1); 4) sin(arccos); 5) arctg1 + arccos;
6) sin( arcos (-) +3 arcsin ; 7) arcsin + arccos; 8) 2 arccos + 3 arccos (-);
9) 3 arccos(-1) + arccos ; 10) arctg 1 + arctg (-1); 11) sin(2 arctg );
12) ctg ( 2 arccos (-); 13) 2 arctg ; 14) arcsin1 + arccos1 + arctg1 + arcctg1;
15) arcsin0 + arcsin 1 + arcsin(-1); 16) arccos0 + arcos 1 + arcos (-1);
17) arcsin + arctg (-) + 3 arccos (-); 18) arcctg (-) — arcsin (-) + 0,83 arccos 1.
Упростите выражения:
1) sin (arcctgx); 2) cos(arctgx); 3)arctg + 2 arctg
Найти область определения функций:
1) y = arcsin(2x + 4); 2) y = arcos
Вычислите значения выражений:
1) sin (arccos ); 2) tg2(arccos); 3) arcos(sin ); 4) sin(arcos(-) +3 arcsin;
5) tg (arcsin+ arctg); 6) sin(2arctg - arccos; 7) cos(arcsin(-)); 8) tg(arcos(-);
9) cos(arctg(-)); 10)ctg(arcsin(-)); 11) sin(arcctg(-2)); 12) cos(arcctg(-));
13)tg( arctg - arctg); 14) cos( arcctg + arcctg(-)); 15) sin(2 arcsin); 16) sin(2arctg3);
17)sin(2arctg - arcos ); 18) sin(arcsin+ arcsin ); 19) cos (arcsin (-) + arcsin );
20) sin (arccos0,6); 21) cos (arcsin (-)).
Найти значения функции:
1) y = arccosx — arctg2x, если х = 0: -; -
Решить уравнения:
1)arcsin (2x -1) =-; 2) arcos (2x2 - ) =; 3) arcsin2x=-; 4) arctg (x-1) =;
5) arcos =; 6) arcctg (x +1) =
Представьте:
1) arcsin в виде арккосинуса; 2) arcsin в виде арккотангенса;
3) arctg в виде арксинуса; 4) - arcsin 0,2 через арккосинус;
5) - arcsin через арккосинус; 6) arctg+ arcos в виде арксинуса.
Тригонометрические уравнения и их системы
Решить уравнения:
1) 2 sin x = ; 2) 3tgx = ; 3) 2 cosx = 1; 4) 2 sinx = - 1; 5) 2 cosx = ;
6) 3ctgx = ; 7) 2tgx — 3 = 0; 8) ctgx = - ; 9) tgx = - ; 10) 3 tgx = - .
Общий вид простейших тригонометрических уравнений: sin(kx+в) =a; cos(kx+ в) = a; tg(kx+ в) =a; ctg(kx + в) = a.
Решить уравнения:
1) + 2 cos7x =0; 2) 1+ 2cos6x =0; 3) 2sin8x +1 =0; 4) tg(3x + 1) =0; 5) sin (2x + ) =1;
6) cos(3x -) = -1; 7) tg( ) = - 1; 8) ctg(2x + ) = 2; 9) tg( ) = ;
10) tg(x + ) = ; 11) sin (x + 1) = ; 12) tg (+ 2x) = - ; 13) ctg(x -) = .
Преобразование тригонометрических уравнений к алгебраическим уравнениям.
Решить уравнения:
1) sinx = 1 — 2 sin2x; 2) 39 sin2x + 10 cosx =15; 3) tg2x — 4 tgx + =0;
4) 3 tg2x - tgx = 0; 5) 2 sin2x = 3 cosx; 6) cos2x — sin2x = 1;
7) 2cos2x = sin2x — 1; 8) sin2x — cos2x — 3 sinx +2 =0; 9) tgx + ctgx =2;
10) 2tgx + 3 ctgx = 5; 11) tg3x = tgx; 12) 2 cos2x = 3 sinx +2;
13) 2sinx tgx =3; 14)2cos2x — 3cosx + 1 = 0; 15) sin2 - 2 cos + 2 =0.
Решение тригонометрических уравнений методом разложения
левой части уравнения на множители.
Решить уравнения:
1) 3tg2x + tgx =0; 2) cos2x (1 - sinx) =0; 3) cos3x — cosx =0; 4) (1 + tgx) cosx = 0;
5) tg3x — tg2x + tgx — 1 =0; 6) ctgx cosx — ctgx — cosx +1 =0; 7) sin2x — 2sinx =0;
8) 4sin3x + 4sin2x — 3sinx = 3; 9) tgx cos2x = 0; 10) 2cos23x — cos3x = 0;
11) cos( - 1) = cos2(1 - ); 12) sin2x cos2x — 2 sin2x = 0; 13) sin3x + cos3x = 0;
14) 2(cos4x — sin4x ) =1; 15) 2( cos4x — sin4x) = ; 16) sin2(2x) — 3 sin (2x) =0
Pазложение на множители с применением формул разности синусов и косинусов.
Решить уравнения:
1) cos3x = cosx; 2) sin9x = sin8x; 3) cos 10x = cos 7x; 4) sin6x = cos3x;
5) sin3x = cos2x; 6) cos3x + sin5x =0; 7) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0;
8) cos3x — cos2x = sin3x; 9) sinx + sin3x =0; 10) cos2x — cos6x =0;
11) sinx + sin3x = sin5x — sinx; 12) sin(2x + 300) + cos(2x + 300) =0;
13) cos 4x + cos 2x = 0; 14) cos(3x + 450) + cos150 = 0; 15) sinx + sin (x + ) = 0;
16) cos(3x - 4) = sin( - x); 17) cos5x + cos7x = cos( + 6x);
18) cos9x — cos7x + cos3x — cosx = 0; 19)cos5x — cos5x = sin7x — cos7x.
Однородные уравнения первой и второй степени.
Решить уравнения:
1) sinx - cosx = 0; 2) 3sinx — 5cosx = 0; 3) 3sinx + cosx =0; 4) sinx = 5cosx;
5) 3sinx - cosx =0; 6) 2cosx - sinx = 0; 7)3sinx + 5cosx = 0;
8) sin2x + 3sinx cosx + 2cos2x =0; 9) 2cos2x + 3sin2x — 8sin2x =0;
10) sin2x + 8sinx cosx + 7cos2x =0; 11) 2sin2x - sinx cosx - 3cos2x =0;
12) 3sin2x - 4sinx cosx + cos2x =0; 13) 5sin2x - 3sinx cosx - 36cos2x =0;
14) 4sin2x + cos2x = 2sin2x; 15) sin2x + sinx cosx = 2cos2x;
16) 3sin2x + 5cos2x — 2cos2x — 4sin2x =0; 17) sin2x + sin2x = 4cos2x.
Уравнения вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d.
Решить уравнения:
1)5 sin2x - 3sinx cosx + 2cos2x =3; 2) 4sinx cosx + cos2x =2;
3) 3sin2x - 4sinx cosx + 5cos2x = 2; 4) 9sin2x + 30sinx cosx + 25cos2x = 25;
5) 19sin2x + 60sinx cosx + 25cos2x = 25; 6) cos2x - 2sinx cosx - sin2x = 1;
7) 38in2x - 3 cos2x = 4; 8) 4sin2x - 8sinx cosx + 10cos2x = 3; 9) sin2x +2sin2x -3 cos2x = 1.
Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановки tg () = t.
Решить уравнения:
1) sinx + tg= -2; 2) 2sinx - cosx =1; 3) sinx — cosx =1; 4) 2sinx + 7cosx =6;
5) 15sinx + 10cosx = 12; 6) 8sinx — cosx = 4; 7) cosx + 4sinx = 4.
Применение формул преобразования произведений тригонометрических функций в сумму и разность.
Решить уравнения:
1) sin5x cos3x = sin9x cos7x; 2) cosx cos3x = cos5x cos7x; 3) sin5x sin11x = sin7x sin9x;
4) sin6x sin2x = sin13x sin9x; 5) cos6x cos12x = cos8x cos10x;
6) cos7x cos3x = cos14x cos10x; 7) sin8x sin4x = cosx cos3x; 8) sin9x cos4x = sin15x cos2x;
9) sin10x cos5x = sin8x cos7x; 10) sin11x cos6x = sin9x cos4x
Решение уравнений с помощью подстановки(sinx ± cosx) = t
Решить уравнения:
1) sinx + cosx = cos2x; 2) 5(sinx + cosx)2 = 12( sinx + cosx) — 7; 3) sin2x = (cosx — sinx)2;
4) 1 — sin2x = cosx — sinx; 5) sinx + cosx = 1 + sin2x; 6) sin2x — 12(sinx — cosx) + 12 = 0;
7) sinx + cosx + sinx cosx = 1; 8) sinx + cosx — 2sinx cosx = 1; 9) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0.
Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла.
Решить уравнения:
1) 3sinx — 4cosx = 5; 2) sinx + cosx = -1; 3) sinx + cosx = ; 4) 3sinx + 4cosx = 5;
5) sinx - cosx = 1; 6) 3sinx - cosx = 3; 7) sin3x — cos3x = 1;
8) 2cosx +3sinx = 2; 9) cosx + sinx = ; 10) sinx + cosx =1.
Применение формул понижения степени.
Решить уравнения:
1) cos22x + cos23x = cos2x + cos24x; 2) sin22x + sin23x + sin24x + sin29x = 2;
3) sin2x + cos23x =1; 4) sin2x + sin2 2x = 1; 5) sin2x + sin2 2x = sin2 3x;
6) 2(sin2 2x + sin2x ) = 3; 7) 4 sin2x + sin2 2x = 3; 8) 4 cos22x + 8 cos2x = 7;
9) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =2; 10) sin2 2x + sin2x = sin2 3x + sin2 4x
Уравнения повышенной сложности
Решить уравнения:
1) sin3x + cos3x = cos2x; 2) sin3x + cos3x =1; 3) sin4x + cos4x = sin2x;
4) sin4x + cos4x = cos4x; 5) sin6x + cos6x = ; 6) sin6x + cos6x = ;
7) sin(tgx) = cos(tgx); 8) 4sinx = ; 9) 8 =4; 10) 4cos(x+) = ;
11) sin26x + 8sin2(3x) =0; 12) sinx2 — sinx = 0; 13) tg(x2 –x) ctg2 =1.
Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
Решить уравнения:
1) 3arcsin2x — 10 arcsinx + 3 = 0; 2) arcsinx - arcsin = ; 3) arccosx — arcsinx = ;
4) tg(3arctgx) = ctg (3arcctgx); 5) arcsin2x + arcsinx =; 6) arcsinx = 2arcsin(x);
7) 2arccosx = arcsin(2x); 8) arctg(7x2 + 14x +) - arcctg (7x2 + 14x +)=.
Системы тригонометрических уравнений.
Решить системы уравнений:
1)sin(x-y) =2sinx siny, 2) sinx siny = ,
x + y = ; cosx cosy =;
3) 4 siny -6cosx = 5+ 4 cos2y, 4) sin2x + sin2y =,
cos2x =0; x — y = ;
5) cosx + 3sinx = 2cosy, 6) sin3x = siny,
cosy + 3 siny = 2 cosx; cos3x = cosy.
Тригонометрические неравенства и их системы
Решить уравнения:
1) sinx > - ; 2) cosx ≤ ; 3) sinx ≤ - 1; 4) cosx ≥ ;
5) tgx ≤ -; 6) tgx ≥ -1; 7) ctgx ≥ -; 8) ctgx <
Решить уравнения:
1) sin2x ≤ -; 2) sin2x < -; 3) sin3x ≥; 4) cos2x ≤ -;
5) cos3x < -; 6) tg < ; 7) ctg2x > ; 8) tg 2x ≤ - 1,
9) tg(x +) ≥ 1; 10) sin( 1 — 2x) < 0,4; 11) cos(2x -2) > ; 12) cos( x - ) ≤ ;
13) ctg( x - ) ≥ 1; 14) ctg(2 — 3x) < -4; 15) tg(x - ) < - ; 16) sin()<;
17) 3sinx +1 >0; 18) tgx + 1 > 0; 19) 2 cosx — 1 < 0; 20) 3tg4x + ≥ 0
Решение неравенств вида a sinx + b cosx ≤ c( или ≥с)
Решить неравенства:
1) 2cosx + 3sinx -2 < 0; 2) sinx + cosx < ; 3) -5sinx + cosx> 3; 4) cosx + 2 sinx > 1.
Решение тригонометрических неравенств заменой переменной
Решить неравенства:
1) 2cos2x + 3 cosx -2 < 0; 2) 2 sin2x — 7sinx + 3 > 0; 3) tg2x -4tgx + > 0;
4) ctg2x + ctgx ≥ 0; 5) 3sin22x + 7cos2x -3 ≥ 0; 6) 2cos2x + 5sinx — 4 < 0;
7) 4sin4x + 12cos2x — 7 < 0; 8) cos2x + 4sinx ≤ 2; 9) 4cos2x — 5sin2x — sin2 2x ≥0
Решить двойные неравенства:
1) - ≤ sinx ≤ ; 2) -< cosx < - ; 3) -2 < tgx < 3; 4) -4 < ctgx < 1,5.
Решить неравенства:
1) ≥; 2) <; 3) ≥;
4) <; 5) < ; 6) ≥ 1.
Решение тригонометрических неравенств методом интервалов
Решить неравенства:
1) sin2x + sinx >0; 2) cos2x ctgx < 0; 3) sin2x + 2sinx >0; 4) cosx cos3x > cos5x cos7x;
5) sinx tgx > cosx + tgx; 6) sinx + sin2x + sin3x > 0; 7)1 — sin2x ≥ cosx — sinx.
Производные и первообразные тригонометрических функций
1. Вычислите:
1) у = cosx3; 2) y = ; 3) y = sin2cos3x; 4) y = ; 5) y = ;
6) y = x sinx
2. Найдите все значения ч при которых производная функции :
1) y = 5 + 8cos(2x+ ) равна 8; 2) y = 1 + 4 sin(5x +) равна 10
3. Найдите все значения х, при каждом из которых производная функции равна нулю:
1) y = 4x — sin2x + 4cosx; 2) y = 5x — sin2x — 4
4. Найдите наименьшее значение функции y = -cos2x - x на отрезке [0;]
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = sin2x + cosx -
6. Найдите наибольшее значение функции y = 5cosx — cos5x на отрезке [-]
7. Найдите наибольшее значение функции y = 2sinx + sin2x на отрезке [0;]
8. Дано: f(x) = x3sin2x Найти f /(x)
9. Найти f /(x), если :
1) f(x) = xctgx; 2) f(x) = cosx2; 3) f(x) = 4sin3x;
4) f(x) = esinx; 5) f(x) = e-cosx; 6) f(x) = 3-cosx
10. Найти общий вид первообразных для функций:
1) f(x) = sin2x; 2) f(x) = cos2x; 3) f(x) = cos2 - sin2;
4) f(x) = cos sin; 5) f(x) = sin4x ; 6) f(x) = cos4x
11. Для функции f(x) найдите первообразную F(x) , принимающую заданное значение в указанной точке:
1) f(x) = , F() = 1; 2) f (x) = , F() =
12. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) y = , y = 0, x = - ; 2) y = , y = 0, x =
Приложение № 2
Проверочные работы
Проверочная работа № 1
Тема: Тригонометрические функции числового аргумента
I вариант II вариант
1) Вычислите:
2) Определите знак выражения:
3) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если
sin= - 3/5 и (3/2;2) cos = - 4/5 и (/2;)
4) Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если
ctg= и (;) tg = и (;)
5) Докажите тождество:
Проверочная работа № 2
Тема: Теоремы сложения для тригонометрических функций и их следствия
I вариант II вариант
1) Вычислите sin2, cos2, tg2, если
sin= ½ и (/2;) сos = 3/5 (0;/2)
2) Вычислите sin , cos, tg, если
cos=3/5 и (3/2;2) sin= и (0;/2)
3) Докажите тождество:
4) Докажите тождество:
4sin200sin500sin700 = sin800 8sin100sin500sin700 = 1
5) Упростите выражение:
sin870 — sin590 — sin930 +sin610 cos650 + sin50 + sin850
Проверочная работа № 3
Тема: Обратные тригонометрические функции
I вариант II вариант
Вычислить:
1) arcsin + arcos ; 1) arcsin0 + arcsin;
2) arctg(-1) + arcctg(-1); 2) arctg + arcctg ( -);
3) arcos( cos ); 3) arcsin (sin );
4) cos(arcsin ); 4) sin(arcos )
5) cos (arcsin - arccos) 5) sin(arcsin)
Проверочная работа №4
Тема: Тригонометрические уравнения и их системы
I вариант II вариант
Решить уравнения:
1) sin3x = 0,5; 1) cos(x/2) = 1;
2) 3 sin(x/2 + /6) = 3/2; 2) cos2x tgx =0;
3) 2 sin2x — 3 cos2x + sinx cosx =0; 3) 3sin2x +2 sinx cosx — 5cos2x = 0;
4)ctg2(x -/2) — ctg(x -3/2) -2 =0; 4) ctg2(x -3/2) — 4tg(x -) + 3 =0;
5) 2 sin(4/3 - x) — sin(4/3 + x) =0; 5) sinx sin3x + cos4x = 0;
6) sinx + cosx = 1 6) 1 — cosx = sinx sin(x/2)
Проверочная работа №5
Тема: Тригонометрические неравенства и их системы
I вариант II вариант
Решить неравенства:
1) sin(x/2) < 0; 1) cos(x/3) < 0;
2) tg3x >0; 2) ctg2x > 0;
3) 3 sinx + 1> 0; 3) tgx +1 > 0;
4)sinx + cosx < 4) sinx > cosx
Проверочная работа №6
Тема: Производные и первообразные тригонометрических функций
I вариант II вариант
Вычислите производные при заданных значениях аргумента:
1) f(x) = sin2lnex, f/(0); 1) f(x) = lntg22x , f/ ();
2) f(x) = arccos, f/(1/2); 2) f(x) = arctg e-x, f/(0);
3) Найти интеграл:
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = cosx, y =0, x =0 и x = y = tgx, y = 0, x = 0, x =
Ответы:
Проверочная работа № 1
Тема: Тригонометрические функции числового аргумента
I вариант II вариант
1) 1)
2) - ; 2) - ;
3) 3)
4) - 4) -
Проверочная работа № 2
Тема: Теоремы сложения для тригонометрических функций и их следствия
I вариант II вариант
1) - 1)
2) 2)
4) sin800 ; 4) 1;
5) sin10 5)cos250
Проверочная работа № 3
Тема: Обратные тригонометрические функции
I вариант II вариант
1) 1)
2) - 2)
3) 3)
4) 4)
5) 5)
Проверочная работа №4
Тема: Тригонометрические уравнения и их системы
I вариант II вариант
1) (-1)kZ; 1) (2k +1), k Z;
2) (-1)kZ; 2) ;
3) 3) ;
4) ; 4)
5) ; 5) ;
6) 6) 2
Проверочная работа №5
Тема: Тригонометрические неравенства и их системы
I вариант II вариант
1) (), k ; 1) ;
2) ; 2)
3)-arcsin; 3) -;
4) x 4)
Проверочная работа №6
Тема: Производные и первообразные тригонометрических функций
I вариант II вариант
1) 0; 1) 8;
2) -1; 2) -1/2;
3) 0; 3) 2;
4) 1 4) 0,6931
Перечень учебно- методической литературы:
1. Программа по математике 10-11 классы общеобразовательной школы естественно- математического направления Алматы 2006
2. В.С. Крамор, К.Н.Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии Москва 2001
3. А. Мерзляк, В. Полонский и другие Тригонометрия. Задачник к школьному курсу 8-11 класс. Москва 1998
4. Н.В.Богомолов Практические занятия по математике Москва 1990
5. Б. Зив, П. Алтынов Алгебра и начала анализа 10-11 классы Москва « Просвещение» 2000
6. А. Карп Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов Москва
« Просвещение» 2003
