Кочарова К.С.
Учитель математики
МОУ СОШ №15
г.Комсомольск-на-Амуре,Хабаровский край,Россия
«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника». Данное свойство сформулировано в виде задачи № 535 учебника «Геометрия 7 — 9» авторов Л.С. Атанасяна и др. Считаю полезным запомнить это свойство как теорему. На протяжении нескольких лет аттестации учащихся в форме ЕГЭ предлагались задачи по планиметрии, которые при применении этого свойства решались бы легче. Мне хочется поделиться способом с применением данного свойства.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две высоты ВТ и АF. Известно, что АВ = 15, АК = 5, где К — точка пересечения этих высот. Найти площадь треугольника АВК (рис. 1).
Решение. Так как ВТ высота, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла В, то отрезок ВК — биссектриса угла В треугольника АВF.
1) По свойству биссектрисы , пусть .
2) Рассмотрим треугольник АВF. По теореме Пифагора
, так как , то
.
.
3) ; .
Ответ: .
Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две высоты ВТ и СН, которые пересекаются в точке К. Найти площадь треугольника ВКС, если ВН = 12, НК = 4.
Решение аналогично задаче 1. — биссектриса треугольника .
Ответ: .
Задача 3.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты и АН пересекаются в точке Т, причем АТ = 10, ТН = 8. Найти площадь треугольника АВТ (рис. 2).
Решение.Так как высота, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла В, то отрезок – биссектриса угла В треугольника .
1) По свойству биссектрисы , пусть .
2) Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора
, так как , то . Следовательно .
3) , так как . .
Ответ: .
Задача 4. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 90, а боковая сторона равна . <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 12 "> К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и , пересекающиеся в точке К. Найти площадь треугольника СКН (рис. 3).
Решение.
1) , , .
2) Из треугольника , ; .
3) По теореме Пифагора , откуда .
4) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла С, то отрезок – биссектриса угла С треугольника . По свойству биссектрисы , пусть , тогда
. .
; .
Ответ: .
Задача 5. Дан ромб с острым углом В. Площадь ромба равна , <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 12 "> а синус угла В равен. Высота СН пересекает диагональ ВD
в точке К. Найдите длину отрезка СК (рис. 4).
Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой угла, то – биссектриса угла В, а значит и ВК — биссектриса угла В треугольника . Далее применяем свойство биссектрисы угла любого треугольника.
Ответ: .
Замечу, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении выше, основание и высота, проведенная к ней, на рисунке отмечены жирной линией.
