XXVI ставропольская краевая открытая научная конференция школьников
Секция: математика
Название работы: Способы решения квадратных уравнений
Автор работы: Рудакова Валентина Алексеевна
Место выполнения работы: с. Солдато-Александровское,
МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского», 8 класс
Научный руководитель: Кобзев Дмитрий Александрович, учитель математики МОУ «СОШ № 6 с. Солдато-Александровского»
С. Солдато-Александровское, 2015
1. Введение 3
2. Основная часть 5
2.1. Теоретическая часть 5
2.1.1. История развития квадратных уравнений 5
2.1.2. Методы и способы решения квадратных уравнений 7
2.2. Обработка данных 15
3. Заключение 18
4. Список литературы 20
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 8-9 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 79учащихся из 86 (92%) . Результаты исследования выявили следующее:
|
Способы решения квадратного уравнения |
Количество учащихся |
|
|
Метод выделения квадрата двучлена |
0 |
0 % |
|
Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки |
2 |
2,5 % |
|
Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения |
53 |
67 % |
|
Решение уравнения, используя теорему Виета. |
4 |
5 % |
|
Решение уравнения графическим способом. |
0 |
0 % |
|
Неверно решили уравнение |
20 |
25,5 % |
Актуальность темы исследования.
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.
В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно — методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.
Все это заинтересовало меня, и поэтому, для своей исследовательской работы выбрала тему «Способы решения квадратных уравнений».
Цель исследовательской работы:выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.
Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений.
Объект исследования:квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Гипотеза:существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на жизнь?
Практическая значимость: квадратные уравнения — это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.
Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов
Этапы выполнения исследовательской работы:
· Этап «Сбор статистических данных».
Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.
· Этап «Обработка данных».
Включает в себя: практическое применение способов решения квадратных уравнений.
· Этап «Анализ данных»
Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов
История возникновения квадратных уравнений
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.
Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века. учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1. «Квадраты равны корням», т. е.
2. «Квадраты равны числу», т. е.
3. «Корни равны числу», т. е.
4. «Квадраты и числа равны корням», т. е.
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е.
6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. .
Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.
