link4059 link4060 link4061 link4062 link4063 link4064 link4065 link4066 link4067 link4068 link4069 link4070 link4071 link4072 link4073 link4074 link4075 link4076 link4077 link4078 link4079 link4080 link4081 link4082 link4083 link4084 link4085 link4086 link4087 link4088 link4089 link4090 link4091 link4092 link4093 link4094 link4095 link4096 link4097 link4098 link4099 link4100 link4101 link4102 link4103 link4104 link4105 link4106 link4107 link4108 link4109 link4110 link4111 link4112 link4113 link4114 link4115 link4116 link4117 link4118 link4119 link4120 link4121 link4122 link4123 link4124 link4125 link4126 link4127 link4128 link4129 link4130 link4131 link4132 link4133 link4134 link4135 link4136 link4137 link4138 link4139 link4140 link4141 link4142 link4143 link4144 link4145 link4146 link4147 link4148 link4149 link4150 link4151 link4152 link4153 link4154 link4155 link4156 link4157 link4158 link4159 link4160 link4161 link4162 link4163 link4164 link4165 link4166 link4167 link4168 link4169 link4170 link4171 link4172 link4173 link4174 link4175 link4176 link4177 link4178 link4179 link4180 link4181
Шаронова Селена Михайловна
Должность:учитель физики, химии, информатики
Группа:Посетители
Страна:Россия
Регион:Самарская область, г. Тольятти
Лекция по теме «Неравенства»

Лекция по теме «Неравенства»

1. Решение неравенств

2. Решение целых рациональных неравенств

3. Решение дробно-рациональных неравенств

4. Неравенства, содержащие знак модуля

5. Иррациональные неравенства

6. Уравнения и неравенства с параметрами

7. Графический метод решения задач с параметрами

1. Решение неравенств

Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: > (<).

При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .

Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.

Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.

Множество называется множеством решений данного неравенства.

Решить неравенство — значит найти множество всех , для которых данное неравенство выполняется.

Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.

Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.

Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему:

· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком;

· Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то отличное от нуля положительное число; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный;

· Если неравенство имеет вид или , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений.

Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решением неравенств чаще всего являются бесконечные множества.

Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам.

К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений.

1. Свойства числовых неравенств

пусть , тогда

и

пусть , тогда

2. Решение неравенств, содержащих квадратный трехчлен: . Пусть - дискриминант квадратного трехчлена.

Вид неравенства

Решений нет

Решений нет

Решений нет

Решений нет

Если неравенство имеет вид меньше (<) или меньше или равно (£), то можно неравенство умножить на (-1) и свести к виду, приведенному в таблице.

2. Решение целых рациональных неравенств

Если в неравенстве функции и заданы целыми рациональными выражениями, то его называют целым рациональным неравенством.

Если неравенство привести к равносильному и разложить левую часть на линейные множители, то такое неравенство можно решить методом интервалов.

Суть этого метода в следующем:

· Перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю;

· Найденные корни уравнения нанести на числовую ость. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;

· Выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение («пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;

· Выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак и записать ответ, взяв их объединения.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Уравнение имеет четыре корня ; ; и . Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков:

Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства. Неравенство выполняется в промежутках:

Замечание. Если все множители в левой части имеют первую степень, то остаточно найти знак в каждом промежутке, а потом учесть, что она меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему, и нарисовать «кривую знаков». Если эта кривая расположена выше оси абсцисс, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси абсцисс, левая часть неравенства отрицательна.

Замечание. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители.

3. Решение дробно-рациональных неравенств

Дробно рациональные неравенства можно привести к равносильному неравенству , тогда метод интервалов применим и для решения дробно-рациональных неравенств.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

,

не является корнем левой части неравенства, поэтому равносильное последнему неравенству будет следующее:

при .

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке, которые были получены, когда мы нанести на числовую ось числа 1, 2 и 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

.

Уравнение имеет четыре

4. Неравенства, содержащие знак модуля.

Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем.

Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разобъем числовую ось точками и на промежутки , и .

Рассмотрим промежуток . Взяв контрольную точку, например, , убеждаемся, что и , заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

.

После элементарных упрощений получаем . Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество .

Перейдем на следующий промежуток . Взяв контрольную точку , убеждаемся, что и . Неравенство упрощается:

, , .

Решением неравенства является множество .

Перейдем к последнему промежутку . Убедимся, что на нем и . Неравенство равносильно следующему:

, , , .

Получили решение . Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: =.

5. Иррациональные неравенства.

Рассмотрим решение иррациональных неравенств, т.е. неравенств, в которых неизвестная содержится под знаком радикала. Простейшие из них имеют вид:

или .

При рассмотрении этих неравенств будут применяться следующие утверждения:

1. Неравенство вида (при натуральном ) равносильно системе неравенств:

2. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:

и

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Итак, решением системы является множество .

Пример.

Наши услуги



Мир учителя © 2014–. Политика конфиденциальности