Казахстан, Карагандинская область, г. Шахтинск

КГУ ОШ №6

Учитель математики

Буякова Е.В.

1. Метод разложения на множители

Задача 4. Решить в целых числах уравнение

x + y = xy.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

Задача 5. Доказать, что уравнение

x⁵ + 3x⁴y - 5x³y² - 15x²y³ + 4xy⁴ + 15y⁵ = 33

неразрешимо в целых числах.

Решение. Левая часть уравнения разлагается на множители следующим образом:

(x - 2y)(x - y)(x + y)(x + 2y)(x + 3y).

Если y ≠ 0, то в этом выражении все 5 множителей различны. С другой стороны, число 33 можно разделить максимум на 4 различных множителя. Следовательно, исходное уравнение не разрешимо в целых числах x, y при y ≠ 0. Случай y = 0 также невозможен, поскольку тогда исходное уравнение принимает вид

x⁵ = 33,

Так как исходное уравнение не имеет целочисленных решений и в случае y = 0.

Задача 6. Доказать, что уравнение

(x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение. Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду

(x - y)(y - z)(z - x) = 10.

Заметим, что (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равнятьса 0.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение

y³ - x³ = 91.

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

(y - x)(y² + xy + x²) = 91.

Делителями числа 91 являются ±1, ±91. Так как y² + yx + x² ≥ y² - 2|y||x| + x² = (|y| - |x|)² ≥ 0, то исходное уравнение равносильно совокупности

Таким образом, целочисленными решениями исходного уравнения являются пары (-6,-5) и (5,6).

Задача 8. Решить в натуральных числах уравнение

y² - x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

Решение. Заметим, что

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

y² = (x² + 3x + 1)²

или

y = x² + 3x + 1.

Таким образом, множество всех решений имеет вид {(x , x² + 3x + 1) | xÎN}.

2. Использование четности

Задача 9. Решить в простых числах уравнение

x2 - 2y2 = 1.

(11)

Решение. Рассмотрим два случая в зависимости от четности переменной x.

a) Пусть x - нечетное число. Подстановка x = 2t + 1 приводит исходное уравнение к виду

(2t + 1)² - 2y² = 1,

или

2y² = 4t(t + 1).

Следовательно, 2 | y². Так как y - простое число, то y = 2. Отсюда

b) Пусть x - четное число. Так как x - простое число, то x = 2. Следовательно, т. е. уравнение неразрешимо в простых числах.

Следовательно, уравнение (11) имеет в классе простых чисел единственное решение (3;2).

Задача 10. Решить в целых числах уравнение

x2 + y2 + z2 = 2xyz.

(12)

Решение. Одно решение очевидно: x = y = z = 0. Покажем, что других решений в целых числах уравнение не имеет. Будем доказывать от противного. Пусть x, y, z - ненулевое решение исходного уравнения. Так как x² + y² + z² - четное число, то по крайней мере одно из чисел x, y, z - четное. Используя симметрию уравнения (12), предположим, что x = 2x₁. - четное число. Тогда 4|y² + z². Это может быть лишь в том случае, когда y и z - четные. Действительно, если одно из этих чисел четное, а другое нечетное, то число y² + z² - нечетное и 4 y² + z². Если же оба эти числа (z и y) нечетные, то

y² + z² = (2u + 1)² + (2v + 1)² = 4(u² + v² + u + v) + 2 ≡ 2(mod 4),

Подставив x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁ в исходное уравнение, получим

x₁² + y₁² + z₁² = 2²x₁y₁z₁.

Повторением приведенных выше рассуждений доказывается, что 2|x₁, 2|y₁, 2|z₁, следовательно, 2²|x, 2²|y, 2²|z. Рассуждая аналогично, получим, что для любого nÎN 2ⁿ|x, 2ⁿ|y, 2ⁿ|z Противоречие. Следовательно, уравнение (12) имеет единственное решение (0,0,0).

Задача 11. Доказать, что уравнение

x3 + 2y3 + 4z3 - 6xyz = 0,

(13)

в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно.

Решение. Предположим, что числа x, y, z, не равные одновременно нулю, являются решением исходного уравнения. Видно, что число x - четное. Подстановка x = 2x₁ дает

4x₁³ + y³ + 2z³ - 6x₁yz = 0.

Отсюда следует, что число y - четное, y = 2y₁. Учитывая это, получим

2x₁³ + 4y₁³ + z³ - 6x₁y₁z = 0.

Следовательно, z - также четное число. После подстановки z = 2z₁ уравнение принимает вид

x₁³ + 2y₁³ + 4z₁³ - 6x₁y₁z₁ = 0.

Рассуждая аналогично, доказывается, что для любого nÎN

2ⁿ|x, 2ⁿ|y, 2ⁿ|z.

Противоречие.

3. Доказательство неразрешимости уравнений с использованием сравнений

Задача 12. Решить в целых числах уравнение

x2 + 1 = 3y.

(14)

Решение. Пусть x, y - целые числа, удовлетворяющие уравнению (14 ). Тогда x² + 1 ≡ 0(mod 3). Рассмотрим случаи, соответствующие различным остаткам от деления x на 3.

a) Пусть x ≡ 0(mod 3). Тогда x² + 1 ≡ 1(mod 3), значит x² + 1 0(mod 3).

b) Пусть x ≡ 1(mod 3). Тогда x² + 1 ≡ 2(mod 3), следовательно, x² + 1 0(mod 3).

c) Пусть x ≡ 2(mod 3). Тогда x² + 1 ≡ 5 ≡ 2 0(mod 3). Следовательно, сравнение x² + 1 ≡ 0(mod 3) не имеет решений, значит и уравнение (14) также неразрешимо в целых числах.

Задача 13. Решить в целых числах уравнение

x2 - 2y2 + 8z = 3.

(15)

Решение. Пусть (x, y, z) - целочисленное решение уравнения (15). Так как x - нечетное число, следовательно,

x² = (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 ≡ 1(mod 8).

По модулю 4 исходное уравнение принимает вид

1 - 2y² ≡ 3(mod 4)

или

y² ≡ -1(mod 2).

Следовательно, y - нечетное число, отсюда y² ≡ 1(mod 8). Поэтому, по модулю 8 исходное уравнение будет иметь вид

1 - 2 ≡ 3(mod 8) Û 4 ≡ 0(mod 8).

Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходное уравнение в целых числах.

Задача 14. Доказать, что уравнение

x³ + x + 10y = 20004

неразрешимо в целых числах.

Решение. По модулю 5 исходное уравнение принимает вид

x3 + x ≡ -1(mod 5).

(16)

Рассмотрев все возможные остатки от деления x на 5, убеждаемся, что сравнение (16) неразрешимо. Следовательно, исходное уравнение также неразрешимо в целых числах.

4. Другие методы решения диафантовых уравнений

Задача 15. Доказать, что уравнение

x³ + y³ + z³ = 2

имеет бесконечно много решений в целых числах.

Решение. Положим x = a + b, y = a - b. Тогда x³ + y³ = 2a³ + 6ab². С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид

2a³ + 6ab² + z³ = 2.

Положив a = 1, получим z³ = -6b². Положим теперь b = 6t³. Отсюда z = -6t², x = 1 + 6t³, y = 1 - 6t³. Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t

Задача 16. Доказать, что уравнение

x2 - 2y2 = 1

(17)

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения. С другой стороны из тождества

(x² + 2y²)² - 2(2xy)² = (x² - 2y²)²

следует, что если (x, y) - решение уравнения (17), то пара (x² + 2y² , 2xy) также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно определим бесконечную последовательность (x_n , y_n) различных решений исходного уравнения:

(x₁ , y₁) = (3,2) и x_n+1 = x_n² + 2y_n², y_n+1 = 2x_ny_n, nÎN^*.

Задача 17. Решить в целых числах уравнение

Решение. Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Применяя неравенство Коши, получим

Следовательно, xyz = 1. Отсюда получим, что решениями могут быть только тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкой убеждаемся, что каждая из них действительно является решением исходного уравнения.

Задача 18. Доказать, что уравнение

x(x + 1) = 4y(y + 1)

неразрешимо в целых положительных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению

x² + x + 1 = (2y + 1)².

Следовательно, x²< (2y + 1)²<(x + 1)² или x< 2y + 1 <x + 1. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Задача 19. Решить в целых числах уравнение

2x³ + xy - 7 = 0.

Решение. Из условия следует, что x должен быть делителем числа 7. Т. е. возможные значения x находятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав эти возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-99).

Задача 20. Доказать, что уравнение

x² + 1 = py,

где p - простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах.

Решение. Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах. Тогда

x² + 1 ≡ 0(mod p).

Но, согласно малой теореме Ферма,

-1 ≡ (-1)^2k+1 ≡ (x²)^2k+1 ≡ x^p-1 ≡ 1(mod p).

Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходного уравнения в Z.

Задача 21. Доказать, что уравнение

x² - y³ = 7

неразрешимо в целых положительных числах.

Решение. Если y - четное число, то x² ≡ 3(mod 4), что невозможно. Поэтому предположим, что y - нечетное число: y = 2k + 1. Тогда

x² + 1 = y³ + 8 = (y + 2)((y + 1)² + 3) = (y + 2)(4(k + 1)² + 3),

Итак, число x² + 1 имеет делитель вида 4n + 3. Следовательно, оно имеет и простой делитель вида 4n + 3 (действительно, если бы все простые делители числа 4(k + 1)² + 3 имели вид 4n + 1, то и само число, являясь их произведением, имело бы вид 4n + 1. Однако последнее невозможно в силу предыдущей задачи.

Задача 22. Доказать, что уравнение

не имеет решений в целых положительных числах.

Решение. Положим d = (x , y), x₁ = ^x/_d, y₁ = ^y/_d. Так как

x² + xy + y² = x²y²,

следовательно,

x12 + x1y1 + y12 = d2x12y12.

(18)

Отсюда получаем, что

x₁|y₁, y₁|x₁.

Учитывая, что (x₁,y₁) = 1, делаем вывод, что x₁ = y₁ = 1. Таким образом, уравнение (18) принимает вид

d² = 3,

Отсюда следует требуемое утверждение.

Задача 23. Решить в целых числах уравнение

x + y = x² - xy + y².

Решение. Положим t = x + y. Так как

то должно выполнятся неравенство

откуда tÎ [0;4].

Учитывая соотношение x + y = (x + y)² - 3xy, рассмотрим случаи, соответствующие целочисленным значениям t из отрезка [0;4].

a) t = 0

b) t = 1

c) t = 2

d) t = 3

e) t = 4

Таким образом, целочисленными решениями исходного уравнения являются пары (0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2).