Казахстан, Карагандинская область, г. Шахтинск

КГУ ОШ №6

Учитель математики

Буякова Е.В.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. При попытках ее доказать были разработаны мощные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики- теории алгебраических чисел. С помощью теоретико –числовой техники теорема Ферма была проверена для всех n< 4000 000. Но до конца 1994 года в общем случае оставалась недоказанной. Получить ее полное доказательство удалось лишь с помощью теории эллиптических кривых.

Решение уравнений в целых числах — очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.

Так, легко доказать, что по формулам , ( - любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения . Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т.е. для решения уравнения ) были известны еще древним индийцам: , , ( и - целые числа, ).

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).

Даже при диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма при всяком имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах — один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

N = {0,1,2,…} - множество натуральных чисел;

N^* = {1,2,…} - множество натуральных положительных чисел;

Z = {0,±1,±2,…} - - множество целых чисел;

Q = {^m/_n | mÎZ, nÎN^*} - множество рациональных чисел;

R - множество действительных (вещественных) чисел.

В начале представим некоторые определения и утверждения, необходимые для далнейшего изложения

Делимость

Определение. Пусть a,bÎZ, b ≠ 0. Числа qÎZ и rÎ {0,1,…,|b|-1} называются соответственно неполным частным и остатком от деления a на b, если выполнено равенство

a = bq + r.

(1)

При этом, если r = 0, то говорят, что a делится на b, или что b делит a, или что b является делителем a (обозначение ab или b|a.

Доказывается, что для любых целых чисел a, b; b ≠ 0, существуют единственные целые числа q, r, rÎ {0,…,|b| - 1} такие, что имеет место соотношение (1).

Определение. Наименьшим общим кратным ненулевых целых чисел a₁, a₂, …, a_n называется наименьшее положительное число, которое делится на каждое из этих чисел (обозначение [a₁, a₂, …, a_n]).

Определение. Наибольшим общим делителем целых чисел a₁, a₂, …, a_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, называется наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел (обозначение (a₁, a₂, …, a_n)).

Определение. Числа a,bÎZ называются взаимно простыми, если (a,b) = 1.

Свойства. Пусть a,b,cÎZ.

1. Если a|b, b|c, то a| c (свойство транзитивности).
2. Если a|b, a|c, то a|b + c.
3. Если a|b, то для всех целых c имеет место a|bc.
4. Если ac|bc и c ≠ 0, то a|b.
5. Пусть a|bc и (a,c) = 1. Тогда a|b.
6. Если a|c, b|c и (a,b) = 1, то ab|c.
7. (a,b)·[a,b] = a·b.
8. (a,b±a) = (a,b).

Сравнения

Определение. Пусть даны числа a,bÎZ, причем c ≠ 0. Говорят, что число a сравнимо с числом b по модулю c, (обозначение a ≡ b (mod c)), если c|a - b; в противном случае говорят, что число a не сравнимо с числом b по модулю c (обозначение ab(mod c)).

Свойства сравнений:

1. a ≡ a(mod d).
2. Еслиa ≡ b(mod d), тоb ≡ a(mod d).
3. Еслиa ≡ b(mod d), b ≡ c(mod d), тоa ≡ c(mod d).
4. Еслиa₁ ≡ b₁(mod d) иa₂ ≡ b₂(mod d), тоa₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂(mod d).
5. Еслиa₁ ≡ b₁(mod d) иa₂ ≡ b₂(mod d), тоa₁a₂ ≡ b₁b₂(mod d).
6. Еслиac ≡ bc(mod dc), тоa ≡ b(mod d).
7. Еслиa ≡ b(mod dc), тоa ≡ b(mod d).
8. Еслиa ≡ b(mod d), a ≡ b(mod c) и (d,c) = 1, тоa ≡ b(mod dc).
9. Если a ≡ b(mod d), то для всех cÎZac ≡ bc (mod d).
10. Если ac ≡ bc(mod d) и (c,d) = 1, то a ≡ b(mod d).

Простые числа

Определение. Натуральное положительное число, большее 1 и не имеющее натуральных положительных делителей, отличных от 1 и самого себя, называется постым. Остальные натуральные числа, большие 1, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Основная теорема арифметики.

Всякое натуральное число, большее 1, разлагается в произведение простых чисел (не обязательно различных), причем указанное разложение единственно с точностью до порядка следования множителей.

Малая теорема Ферма.

Пусть p - простое число. Тогда для любого целого числа a справедливо соотношение

a^p ≡ a(mod p).

О диофантовом анализе

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x₁, x₂, …, x_n) = 0,

где P(x₁, …, x_n) - многочлен с целыми коэффициентами.

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы:

1. имеет ли уравнение целочисленные решения;
2. конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
3. решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
4. решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
5. решить уравнение на множестве рациональных чисел.

Отметим, что проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными достаточно трудной является даже задача существования целочисленных решений. Например, не известно, имеет ли уравнение

x³ + y³ + z³ = 30

хотя бы одно целочисленное решение. Более того, доказано, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диафантовы уравнения.

Диофантовы уравнения с одним неизвестным

Рассмотрим уравнение

a0 + a1x + … + anxn = 0,

(2)

гдеa_jÎZ (j = 0,…,n), a_n ≠ 0.

Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни уравнения (2) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида (2) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что a₀ ≠ 0. Пусть r - рациональный корень уравнения (2), r = ^p/_q, где pÎZ, qÎN^*, (p,q) = 1. Умножая обе части равенства

наqⁿ, получим

a₀qⁿ + a₁p·q^n-1 + … + a_n-1p^n-1q + a_npⁿ = 0,

следовательно,

p|a0qn и q|anpn.

(3)

Так как (p,q) = 1, то (p,qⁿ) = 1, (q,pⁿ) = 1, поэтому из соотношений (3) следует, что p|a₀, q|a_n. Поскольку рациональных чисел вида r = ^p/_q, таких что (p,q) = 1, p|a₀, q|a_n, конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, которые являются решением уравнения (2). Как следует из приведенных выше рассуждений, других решений уравнение (2) иметь не может.

Задачи

Задача 1. Решить в рациональных числах уравнение

2x4 + 7x3 - 12x2 - 38x + 21 = 0.

(4)

Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители

±1, ±3, ±7, ±21.

Выпишем также положительные делители старшего коэффициента: 1, 2. Следовательно, для рационального корня уравнения (4) получаем следующие возможные значения:

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что из этого множества только числа -3 и ¹/₂ являются его корнями.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение

x8 + x7 + x + 1 = 0.

(5)

Решение. Делители свободного члена уравнения: ±1. Положительные делители старшего коэффициента: 1. Следовательно, все целые корни уравнения (5) находятся среди чисел {-1,1}. Подставляя x = ±1 в (5) заключаем, что только x = -1 является корнем этого уравнения.

Диофантовы уравнения первой степени

Перейдем теперь к решению в целых числах уравнений первой степени или так называемых линейных уравнений, т. е. уравнений вида

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,

(6)

где a_jÎZ (j = 1,2,…,n), bÎZ.

Предположим, что не все числа a_j (j = 1,…,n) равны нулю. Очевидно, для существования решения в целых числах уравнения (6) необходимо, чтобы (a₁,…,a_n)|b. Покажем, что это условие является и достаточным.

Положив

перейдем к равносильному уравнению

a1¢x1 + … + an¢xn = b¢,

(7)

где (a₁¢, …, a_n¢) = 1. Пусть a_i¢, a_j¢ - два ненулевых числа, таких, что |a_i¢| ≠ |a_j¢|. Для определенности предположим, что i<j, |a_i¢| > |a_j¢|. Разделив с остатком a_i¢ на a_j¢, получим представление a_i¢ = a_j¢q + r. Заменив a_i¢ на a_j¢q + r в уравнении (7), приведем его к виду

a1¢x1 + … + rxi + … + aj¢(xj + qxi) + … + an¢xn = b¢.

(8)

Перепишем уравнение (8) в виде

a1¢¢x1 + … + an¢¢xn¢¢ = b¢,

(9)

где

Очевидно, что решения уравнения (7) и (9). связаны между собой взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение (9), несложно найти все решения уравнения (7). С другой стороны отметим, что "k, iÎ {1,…,n}, k ≠ i

a_k¢¢ = a_k¢, |a_i¢¢| < |a_i¢|.

Отметим также, что

(a₁¢¢, …, a_n¢¢) = (a₁¢, …, a_i¢ - a_j¢·q, …, a_n¢) = (a₁¢, …, a_n¢) = 1.

Следовательно, за конечное число шагов уравнение (7) приведется к виду

(10)

где числа (i = 1,…,n), которые не равны нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения следует, что числа (i = 1,…,n) могут принимать только значения 0,±1, причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . Тогда уравнение (10) имеет следующее решение:

где t₂, t₃, …, t_n - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая проведенные замены, получается и решение уравнения (7). Отметим, что при получении решения уравнения (10) использовался лишь факт, что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

4x - 6y + 11z = 7.

Решение. Разделив с остатком -6 на 4, получим -6 = 4(-2) + 2. Представим исходное уравнение в виде

4(x - 2y) + 2y + 11z = 7.

После замены x¢ = x - 2y это уравнение запишется следующим образом:

4x¢ + 2y + 11z = 7.

Учитывая, что 11 = 2·5 + 1, преобразуем последнее уравнение:

4x¢ + 2(y + 5z) + z = 7. Положив y¢ = y + 5z, получим 4x¢ + 2y¢ + z = 7.

Это уравнение имеет следующее решение: x¢, y¢ - произвольные целые числа, z = 7 - 4x¢ - 2y¢. Следовательно y = y¢ - 5z = 20x¢ + 11y¢ - 35, x = x¢ + 2y = 41x¢ + 22y¢ - 70.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид

где x¢, y¢ - произвольные целые числа.