Россия,Самарская область,Шенталинский район,пос. Романовка

ГБОУ Самарской области основная общеобразовательная школа пос. Романовка муниципального района Шенталинский Самарской области

Учитель математики

Ефимова Марина Владимировна

Цель работы: изучить учебник А.Г. Мордковича «Алгебра 7 класс» на присутствие задач с параметрами и на основе базовых задач подобрать модифицированные задачи и задачи с параметрами исследовательского характера для учеников 7 класса.

При решении задач с параметрами перед педагогом ставятся следующие задачи:

- обучающие: научить учащихся анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельно выделять и формулировать познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбирать наиболее эффективные способы решения задач, формулировать проблему, выдвигать гипотезу и их обосновывать;

• -развивающие: научить ставить цели, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий, способов и условий действия, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности, развивать творческую и мыслительную деятельности учащихся;

-воспитательные: научить слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, уважать мнение другого человека, воспитывать ответственность и аккуратность.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По задачам с параметрами уже вышел ряд книг и пособий. Но большинство из них предполагают наличие у школьника высокой математической культуры, а также значительного объема математических фактов, которые в школе изучаются весьма поверхностно или совсем не изучаются. Поэтому школьникам обычных школ зачастую эти книги не доступны для понимания. Разбираться в них могут только школьники, обучающиеся в математических классах.

Исследуя и проанализируя учебник А.Г. Мордковича «Алгебра 7 класс» выяснилось, что в учебнике из 1610 упражнений всего около 30 с параметрами. Таким образом, задачи с параметрами составляют примерно 1,8% от общего количества упражнений по алгебре в 7 классе. Конечно же, при таком соотношении упражнений сложно научиться решать задачи с параметрами. Для того, чтобы учащиеся все же научились решать задачи с параметрами, необходимо больше уделять внимания таким задачам на дополнительных занятиях, познакомить с типами, различными методами решения.

Спроектируем многоуровневую систему задач с параметрами. В 7 класса в основном изучается решение линейных уравнений с параметрами.

Начнем с основных понятий.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ, либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Какие основные типы задач с параметрами?

Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Линейные уравнения с параметрами

Линейным уравнением называется уравнение вида ах=в, где а,в- некоторые действительные числа, х- переменная.

Решить уравнение с параметром — значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Решим данное уравнение в общем виде.

При а=0, в≠0 уравнение не имеет корней, так как нет такого числа которое при умножении на нуль, даст результата отличный от нуля.

При а=0, в=0 уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительное число.

При а≠ 0 уравнение имеет единственный корень, равный х=в/а.

Таким образом, мы получили следующую схему для решения линейных уравнений с параметром.

По данной блок-схеме можно составить алгоритм решения линейного уравнения с параметрами

Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:

• Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид ах=в.
• Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (а = 0, а ≠ 0).
• Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).
• Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Многоуровневая система уравнений с параметрами, содержащих модуль.

Базовые задачи

Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Задачи такого вида можно подобрать из учебника.

1. Решить уравнение a x=0.

1) При a =0 уравнение примет вид ox=0, значит решением уравнения будет x - любое число. 2) Если a 0, то x=0/a, х=0.

Ответ: если a =0, x - любое число;

если a 0, x=0.

2.Решить уравнение a x-7=0.

Запишем уравнение в стандартном виде a x=7.

Если a =0, то уравнение не имеет корней. Если a 0, то x=7/ a

Ответ: если a =0, корней нет;

если a 0, x=7/ a.

• Решить уравнение (a -3)x-6=0.

Запишем уравнение в стандартном виде (a -3)*x=6

1)Если a -3=0, a =3, то уравнение не имеет корней. 2)Если a-30, a 3,то x=6/ (a -3).

Ответ: если a =3, корней нет;

если a 3, x=6/ (a -3).

4. Решить уравнение (a -5)x=7.

Если a -5=0, a =5, уравнение корней не имеет Если a-50, a5, x=7/(a-5).

Ответ: если a =5, корней нет;

если a 5, x=7/ (a -5).

5. Решить уравнение mx=m.

Ответ: если m=0, x - любое число;

если m0, x=1

6. Решить уравнение (m-5)x=6.

1) Если m-5=0, m=5, то уравнение не имеет корней 2) Если m-50 m5, то x=6/(m-5)

Ответ: если m=5, корней нет;

если m5, x=6/m-5

7. Решить уравнение a x+8= a.

Запишем уравнение в стандартном виде a x= -8+ a.

1) Если a =0, то уравнение примет вид 0 x= -8. Это уравнение не имеет корней. 2) Если a 0, то x= a -8/ a,

Ответ: если a =0, корней нет;

если a 0, x= a-8/ a

8. При каком значении параметра a, х=2,5 является корнем уравнения х+2= a+7?

Так как х=2,5 корень уравнения х+2= a+7, то при подстановке х=2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5 +2= a+7, откуда находим a= -2,5.

Ответ: при a=-2,5.

Модифицированные задачи

Задачи этого блока можно составить из базовых задач за счет:

• Увеличения технической сложности и трудности;
• Переформулирования условия базовой задачи;
• Необычной формы представления условия задачи.

1. Решить уравнение аx = x + 3.

Решение:

Приведем уравнение к виду аx = в:

аx — x = 3,

(а — 1) x = 3.

• Если a = 1, то уравнение примет вид 0x = 3 и корней нет;
• Если a ≠ 1, то x = .

Ответ: если a = 1, то уравнение корней не имеет;

если a ≠ 1, то x = .

Ответ: b=-12

2. Решить уравнение a(х — 1) + 2(х — 1) = 0 относительно переменной х.

Решение:

Раскроем скобки: aх — а + 2х — 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х — любое число.

Ответ: при а ≠ -2 х = 1;

при а = -2 х- любое число.

3. Решить уравнение

Решение:

• Если

то уравнение имеет единственное решение

• Если то уравнение принимает вид:

(верно)

Значит наше уравнение имеет бесконечное множество решений.

3) Если то уравнение принимает вид: , (не верно)

Значит первоначальное уравнение не имеет корней.

Ответ: при одно решение

при нет решений

при х-любое число.

4. Решить уравнение (a² — 1)x = a + 1.

Решение: При решении этого уравнения рассмотрим такие случаи:

• a² - 1 = 0, т.е. a = 1 и a = -1.

Если a = 1, то уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений;

Если a = -1, то получаем 0x = 0, следовательно x — любое число.

• Если a ≠ ±1, имеем x = .

Ответ:если a = -1, то x — любое число; если a = 1, то нет решений;

если a ≠ ±1, то x = .

1. 5. Решить уравнение тх+3=4т-2х.

тх+2х=4 т-3,

х(т+2)=4 т-3,

• Если т+2=0,

т=-2, то уравнение примет следующий вид

0х=4 (-2)-3,

0х=-11. Это уравнение не имеет корней.

• Если т+20,

т-2, то х = (4т-3)/ (т+2).

Ответ: при т=-2, корней нет;

при т-2, х= (4т-3)/ (т+2).

1. 6. Придумайте уравнение с параметром т, которое имеет бесконечно много решений. (Ответ: например, при каком значении m уравнение (m+2)х=6х имеет бесконечное множество решений)
2. 7. Найдите значения а, при котором число 2 является корнем уравнения

х(а-2)+а(7-х)=3. (Ответ: при а=1)

1. 8. Найдите значение параметра а в уравнении ах+5у-40=0, если известно, чо решением уравнения является пара чисел (3;2)

Задача решается подстановкой и выражением а. (Ответ: а=)

1. При каком значении параметра р график функции у=рх+1 пройдет через точку пересечения прямых 6х-у=13 и 5х+у=20 (Ответ: р=4/3)

10. При каких значениях коэффициентов а,в,с прямая ах+ву+с=0:

а) параллельна оси х;

б) параллельна оси у;

в) проходит через начало координат;

г) совпадает с осью х, осью у?

• Исследовательские задачи
• Исследовательские задачи сформулированы на более сложном языке, они носят иследовательский характер. Их решение основывается на:
• 1. методе выдвижения гипотез;
• 2 видения новоо ракурса решения;
• 3. использование комбинированных методов решеня;
• 4. переформулировании условия задачи.

1. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение
2 -1-х=а?
Решение. Преобразуем уравнение к виду 2|x| -1=х+а.
Рассмотрим функции f(х)=2|x| -1 и g(х,а)= х+а.
Графиком первой из них является ломаная (рис.1), графиком второй - семейство прямых, параллельных прямой у=х.

Эти прямые пересекаются с осью ординат в точках с координатами (0;а). Очевидно, что если а будет возрастать от - , то впервые графики пересекутся тогда, когда прямая пройдет через вершину ломаной, т.е. через точку (0;-1), т.е. при а=-1. В этом случае уравнение имеет единственное решение. Если дальше увеличивать параметр а, то точек пересечения будет ровно две — с каждой из ветвей ломаной. В результате этого анализа получаем ответ.
Ответ: при а<-1 уравнение не имеет корней; при а=-1 уравнение имеет единственный корень;
при а>-1 уравнение имеет два корня.

1. Решить относительно х уравнение .

Решение.

1) , по смыслу задания;

2) уравнение-следствие 3mx-5+(3m-11)(x+3)=(2x+7)(m-1),

4mx-9x=31-2m, (4m-9)x=31-2m.

а) если , , то ;

б) если , то 0х=26,5, где нет корней.

3) Учтем все те значения m, при которых х=-3; ,

31-2m=-12m+27, m=-0,4.

Ответ: при , , ;

при m=2,25 и при m=-0,4 решений нет;

при m=1 уравнение не имеет смысла.

1. 2. Решить относительно х уравнение

.

(Ответ: при , , , ; при , , , решений нет.)

4.При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень? Укажите этот корень.

Решение.

по смыслу задания, тогда

а) , тогда при единственный корень , т.е. ;

б) при других имеем , тогда .

Ответ: при , ; при , .

Литература

1 . Локоть В.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие.- М.:АРКТИ, 2003

2. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл в 2 частях.М.: Мнемозина, 2012.

3. Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия

«Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово –учебная книга», 2003.

4. Макарычев Ю. Н., Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. «Алгебра 7 класс» под

редакцией С.А.Теляковского, Издательство: М., «Просвещение»

5. Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое

сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.

6. Иванюк М.Е., Липилина В.В., Максютин А.А. «Проблемы реализации ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе» (монография).Самара,2014г.