Казахстан, Павлодарская область, г.Экибастуз
КГУ "Средняя общеобразовательная школа №13

Учитель
Имакова Саружамал Абилькиятовна

РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Сознательное выполнение упражнений — необходимое условие активной мыслительной деятельности учащихся. При этом ученик не только должен хорошо понять условие предложенной ему задачи, но и сознательно усвоить те понятия, законы и теоремы, на которые он будет опираться при ее решении. Так, например, сознательное выполнение тождественных алгебраических преобразований невозможно без умения применять законы арифметических действий к преобразованиям.

В значительной мере повышает активность учеников при выполнении упражнений. Иллюстрации приложений, изучаемых алгебраических понятий активизирует деятельность учеников в овладевании понятиями, активизирует их мышление. Способствует этому и умелое комментирование упражнений.

Обосновывая каждый свой шаг при выполнении упражнения, комментатор не должен диктовать то, что он записывает в тетрадь. В противном случае комментирование становится вредным: запись под диктовку всего хода решения никак не содействует ни развитию мышления школьников, ни формированию алгебраических изменений и навыков.

Большое значение при выполнении алгебраических упражнений имеют своевременно предложенные учителем советы, которые должны быть естественными, ненавязчивыми. Активно воздействуют на мыслительную деятельность учащихся следующие виды алгебраических упражнений.

1. Упражнения, стимулирующие логическое мышление учеников

К ним можно отнести упражнения, включающие элементы исследования.

Такие упражнения следует предлагать уже на первых уроках алгебры, при знакомстве с буквенной символикой.

1. При каких значениях букв справедливы следующие соотношения:

а+b=а; а+в>b; a+b<b; a-b=a;

a-b=b; ab>I; ab<I; ab=0;

c=c² ; c=c³; c²=c³

1. Сравните выражения:

2a и а; b и -b; ck и c.

1. Справедливы ли следующие равенства и неравенства; если справедливы, то при каких значениях букв:

P+3=p; 5b=2b; = 2; > 2;

1. Сравните:

(a+b)² и a²+b²; рассмотрев случаи:

a>0, b>0; a<0, b<0; a<0, b>0/

a=0 b=0; a>0, b<0.

1. При a>b>0 сравните

1. Поставьте, где возможно, вместо «и» знак равенства:

(a+b)³ и (b+a)³; (a-b)³ и (b-a)³; (-a-b)³ и (a+b)³; (-a-b)³ и -(a+b)³ .

При выполнении всех упражнений следует требовать от учеников возможно полной аргументации своих ответов.

Указанные упражнения полезно проводить при каждом новом расширении числового множества. При этом важно указывать числовое множество, в котором предлагается выполнить рассматриваемое упражнение.

Развитие логического мышления школьников невозможно без четкого усвоения( а не только заучивания) определений, изучаемых алгебраических понятий. Усвоение же понятий идет в процессе выполнения специально подобранных упражнений. Вот некоторые из упражнений по усвоению понятия модуля числа:

1. При каких значениях а справедливы равенства или неравенства:

/а/ =а; /а/ =-а; /а/ +а=с; /а/ +а=2а;

/а/ -а=с; /а/ +а=-2а; -а</a/; а</a/; -а</-a/

1. Какие числовые значения принимают дроби:

1. Решите уравнения:

/x/=2; /x/=-2; /x-2/=I; /x-2/=I; /3-x/=2;

Значительно активизируют мышление учащихся задачи на доказательство. Они позволяют повысить и логический уровень обучения алгебре. Приучать школьников к доказательству различных предложений надо с первых уроков. Можно предложить такие упражнения:

1. Доказать, что при любых в имеет место неравенство

(b²+i)²-4b²>=0

1. Доказать, что равенство = не может быть справедливым ни при каких значениях х и у.

Большое значение имеют упражнения, в которых выявляются возможность применения той или иной изучаемой формулы. Применить формулу в стандартном случае не так уж сложно, гораздо важнее научиться различать формулы, видеть их в необычном, нестандартном виде. Полезно предлагать такие упражнения:

1. Раскрыть скобки, применяя, где возможно, формулу произведения суммы двух выражений на их разность:

а) (I, 2c²+2.3x³) (2.3x³-1.2c²)

б) (x+y)*(x-y); (x+y)*x-y; x+y(x-y);

в) (7x³b2+1)(7a³b²+1)

г)(1.4x+2)(1.4x-2.1)

д) (0.3f²fkl³+100)9100-0.3f²l³k)

1. Какие из данных ниже двучленов можно разложить на множители во множестве рациональных чисел:

M²-n²; x²-y²; 2x²-2²; 4c²-d²;

5z²-6y²; 36a²-49b²; 2k²-4n²; 2p-3k²

Рациональное выполнение упражнений воспитывает оригинальное, нешаблонное мышление. Например, преобразования с алгебраическими дробями выполняются обычно по следующему плану: сначала устанавливается порядок обозначенных действий, затем в соответствии с этим порядком выполняются преобразования. Нередко же простое применение законов действий упрощает выкладки.

Так, например, выражение

с применением переместительного и сочетательного законов выполняется устно.

1. Упражнения, при выполнении которых ученики «открывали» бы

законы и положения начальной алгебры и убеждались бы в их

справедливости

Учеников необходимо учить сопоставлять различные алгебраические выражения, различные способы преобразований, находить общие свойства тех или иных алгебраических выражений, функций, уравнений и целью их обобщения. При этом можно предлагать следующие упражнения:

1. В равенствах:

(a+b)²=a²+4ab+b²

a²- b²= (a+b)(a-b)

(a+b)( a²-ab+ b²)= a³ +b³

замените а на –а, в на –в,

одновременно а на –а и в на –в.

Какой вид примут равенства?

Найдите коэффициенты k и в в уравнениях прямых, изображенных на рисунке. Запишите уравнения этих прямых. Как зависит положение прямой на координатной плоскости от k и в?

Выполняя последнее упражнение, школьники приходят к обобщению некоторых свойств линейной функции: при k 0 график ее составляет острый угол с положительным направлением оси Ох, k 0 - тупой угол. Аналогично можно решить вопрос и о монотонности линейной функции.

1

0 1

1. Практические задачи и упражнения по алгебре

Вот некоторые упражнения, иллюстрирующие связь алгебры с геометрией и физикой.

1. Пользуясь свойством средней линии трапеции, вычислите координаты точки М — середины отрезка АВ, если:

а) А (0;6), В (4;8); б) А (4;0), В (2;8); в) А (-6;4), В (6;2).

1. Вершины прямоугольника расположены в точках А (3;5), В (3;5), С (-3;-5), Д (-3;5).

Вычислите его периметр и площадь. Запишите уравнение прямых, на которых расположены его диагонали.

1. Занимательные упражнения и игры.

Большое значение при изучении при изучении математики имеет интерес, являющийся в свою очередь следствием увлекательности самой математики, ее идей логического построения, практических применений. Но на уроках математики нужны и занимательные упражнения. Нужны не сложные, хотя и требующие смешалки, упражнения, которые оживили бы уроки алгебры.

Примеры таких упражнений :

1. Каким условиям должны удовлетворять две алгебраические дроби, чтобы их произведение равнялось I?
2. Две противоположные стороны квадрата увеличили, а две другие уменьшили на 5см каждую. Как изменилось площадь квадрата?
3. Вычесть из числа -2 такое число, чтобы равность была: числом противоположным уменьшенному: числом, противоположным обратному уменьшаемому.
4. Тремя двойками, не употребляя знаков деиствий, запишите возможно большее число.

Занимательными являются некоторые упражнения «на востановление», т.е. нахождение по данному результату или по данной части компонентов исходных данных. Выполнение таких упражнений требует обычно хорошего понимания существа изученного и знания обратных опнраций, умения анализировать условие задачи, например:

1. Известно, что прямая проходит через точку М(1;2) и через начало кординат. Запишите уравнение данной прямой (минуя построение)
   1. Не проводя построений и вычислений запишите уравнение прямой, проходящей через точки А(1;3) и В(5;3).
   2. Напишите несколько пар одночленов, удвоенные произведения которых а³в²с; 10х⁵у; k³; 0,2в²

Большие возможности составления занимательных упражнений появляются при использовании так называемого магического квадрата.

1. Запишите в клетках квадрата числа -1; +2;-3; +4; -5; +6; -7; +8; -9 так, чтобы их произведения по всем горизонталям и вертикалям были отрицательны.
2. Запишите в клетках числа 2,4,8,16,32,64,128,256,512, так чтобы их произведения по всем вертикалям, горизонталям и диагоналям были бы равны
3. Запишите в клетках квадраты числа -1;+2;-3;+5;-4;-6;-7;+8;-9 так, чтобы по всем горизонталям, диагоналям и вертикалям произведения были положительными.
4. В клетках квадрата расположите:

а) -5ах; -3ах; -2ах; -ах; 0; ах; 2ах; 3ах; 5ах.

б) -5kp; -4 kp; -3 kp; -kp; 0; kp; 3 kp; 4 kp; 5 kp; так, чтобы после сложения одночленов по вертикалям, горизонталям и диоганалям получается 0.

5. В центральной клетке квадрата помещен одночлен 6х³у⁴.

Заполните пустые клетки квадрата так, что при сложении по горизонталям и вертикалям, проходяш\щим через центральную клетку, и по диагонолям получились полные квадраты двучленов.

6. Запишите одночлен в пустую клетку так, чтобы по внутренней горизонтали, внутренней вертикали, диагоналям получились полные квадраты.

4а4	а2в6	4
1		4а4в6с2
а4в6с2	4а2с2	с2в6

Занимательные упражнения, разумеется, не исчерпываются указанными.

Например, при решении задач с помощью составления уравнений полезно предлагать исторические задачи, старинные задачи и т.д.

V. Самостоятельные составления упражнений учащимися

Этот вид упражнений приносит несомненную пользу. Школьники , во-первых, самостоятельно оперируют понятиями алгебра: во –вторых, получают возможность творческого труда и подхода к изучению алгебры.

Начинать cамостоятельное составление упражнений учащимися в 4-7 . классе следует с простого воспоизведения по аналогии, такие упражнения можно проводить во всех разделах начальной алгебры, при изучении нового понятия алгебры ученики должны проводить сови примеры. Исходя из определений.

Следующи этап - самостоятельное составление алгебраических выражений. Определяется конкретными условиями, например, составить многочлены, в которых бы встречались:

а) буквы а и х;

б) коэффициенты 0,85; -2; -2/25;

в) показатели степени 5; 2; -2; 1; 0;

г) одновременно соблюдались условия а) и б).

Здесь уже вводятся некоторые ограничения на свободу выбора выражения. Вводить такие ограничения следует постепенно усложняя их. Например, пусть даны одночлены а^2, 2а²в, а4в. С помощью знаков действий и скобок, используя одновременно все одночлены, составить их них:

а) многочлены

б) алгебраическое выражение,тождество равное 0, 1, 3,

в) алгебраическое выражение, являющееся (после упращения) квадратом одночлена;

г) алгебраическое выражение, модуль которого вдвое меньше модуля последнего одночлена.

Систематическая внеклассная работа также способствует математическому развитию мышления у учащихся.