link9828 link9829 link9830 link9831 link9832 link9833 link9834 link9835 link9836 link9837 link9838 link9839 link9840 link9841 link9842 link9843 link9844 link9845 link9846 link9847 link9848 link9849 link9850 link9851 link9852 link9853 link9854 link9855 link9856 link9857 link9858 link9859 link9860 link9861 link9862 link9863 link9864 link9865 link9866 link9867 link9868 link9869 link9870 link9871 link9872 link9873 link9874 link9875 link9876 link9877 link9878 link9879 link9880 link9881 link9882 link9883 link9884 link9885 link9886 link9887 link9888 link9889 link9890 link9891 link9892 link9893 link9894 link9895 link9896 link9897 link9898 link9899 link9900 link9901 link9902 link9903 link9904 link9905 link9906 link9907 link9908 link9909 link9910 link9911 link9912 link9913 link9914 link9915 link9916 link9917 link9918 link9919 link9920 link9921 link9922 link9923 link9924 link9925 link9926 link9927 link9928 link9929 link9930 link9931 link9932 link9933 link9934 link9935 link9936 link9937 link9938 link9939 link9940 link9941 link9942 link9943 link9944 link9945 link9946 link9947 link9948 link9949 link9950 link9951 link9952 link9953
Максимов Александр Сергеевич
Должность:Журналист
Группа:Команда портала
Страна:Россия
Регион:Санкт-Петербург
Геометрическая прогрессия

Россия, г.Тверь

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа города Твери»

Учитель математики

Жукова Надежда Викторовна

Геометрическая прогрессия

Цель урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения практических задач; развитие познавательного интереса к математике.

Задачи урока:

Образовательные:

  • совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул геометрической прогрессии; применять свои знания в практических ситуациях; расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;

Развивающие:

  • развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитательные:

  • воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Сообщение одного из учащихся.

Практическое применение геометрической прогрессии (слайд 3,4)

1. Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы, более известный под именем Фибоначчи занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…Это ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией .

2. В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”. Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 1,8 раза.

Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

3. Еще один пример геометрической прогрессии — изменение массы радиоактивного вещества со временем. Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T — время периода полураспада. Массы не распавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

4. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

5. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.

6. Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Почему геометрическая прогрессия названа “геометрической”? Видимо потому, что каждый её член равен среднему геометрическому, соседних с ним членов.

А такое среднее названо геометрическим, поскольку оно является стороной квадрата, равновеликого прямоугольнику, стороны которого имеют длины, равные тем величинам, от которых берется среднее.

3. Повторение теоретических моментов, устная работа (слайд 5)

Числовую последовательность b1, b2, b3, …, bn, …, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Таким образом, для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bnq, где bn≠0, q — некоторое число, не равное нулю.

Решите устно

  • Назовите первый член, знаменатель и среднее геометрическое геометрической прогрессии:
    1)6; 3; 1,5; ….
    2)–16, –8, –4, ….
  • Назовите первые четыре члена геометрической прогрессии:
    1) b1=2, q=0,5.
    2)b1=–3, q= 2.

4.Работа в парах по заполнению таблицы (раздаточный материал - листочки с таблицей) с последующей проверкой (слайд 6,7)

5.Повторение формул n-го члена, суммы членов геометрической прогрессии, применение теории, решение задач на интерактивной доске (слайды 8-10)

Задача1. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?

Решение. Искомое количество клеток найдем по формуле n-го члена геометрической прогрессии=1024a

Задача2.Банк начисляет по вкладам 3% годовых. Сколько денег будет на счету у вкладчика через 5 лет, если он положил на счет 10000р.?

Решение. Формула сложных процентов

При=10000, p=3, n=5 b=10000(=10000·=11592,74р.

Задача3. О финансовых пирамидах.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором — 600, в третьем — 3 000, …, в десятом — 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в 8 круге, уже ничего не получит.

Задача4. Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека?

Ответ: за пять дней

6. Дифференцированные задачи для групп (слайд 11)

Ответы. 1) 48,60,75. 2) 32. 3) 5. 4) 6083,26р. 5) 35821,57р.

7. Подведение итогов.

Вывод: Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач во многих реальных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Литература:

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. — 12-е изд., стер. — М.:Мнемозина, 2010.

Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009.;

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008;

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990;

Наши услуги



Мир учителя © 2014–. Политика конфиденциальности