Казахстан, Актюбинская область
ГУ «Средняя школа №1Мартукского района»
Учитель математики
Юсупова Аккибат Бердибаевна
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает « за сотню» или « со ста».
Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач в клинописных табличках посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а с «шестидесяти».
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме.
Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем их область применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
В настоящее время процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto.
Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту ( / ) и возник современный символ для обозначения процента.
При решении текстовых задач на проценты крайне необходимо умение анализировать весь комплекс условий задачи, составлять верные соотношения между заданными и искомыми величинами и записывать их в виде математических выражений.
В основном задачи на проценты решаются методом последовательных вычислений с составлением пропорции, с последующим нахождением ее неизвестного члена или алгебраически - составлением уравнения. В задачах на сплавы и смеси иногда лучше прибегнуть к диагональной схеме правила смешения двух растворов, называемого в аналитической химии «правилом креста»
I.Основные правила и формулы.
Процент — это сотая часть числа ( или 0,01).
Чтобы найти 1% от числа, надо это число разделить на 100.
Например, 1% от 250 равен 250/100=2,5.
Чтобы обратить десятичную дробь в процент, надо эту дробь умножить на 100.
Например, 0,5=0,5·100=50%.
1,8=1,8·100=180%.
Чтобы перевести процент в десятичную дробь, надо процент разделить на 100.
Например, 2%=2:100=0,02.
12,5%=12,5:100=0,125.
В задачах на проценты некоторую величину а принимают за 100% - целая, а ее часть b — за р%: а - 100% а:100%
b - р% b:р%,
по основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних и можно найти неизвестный член.
; ; .
Формула сложного процентного прироста суммы, положенной на вклад в банке: = ,
где S — сумма, внесенная в банк;
P — число процентного прироста;
n — количество единиц времени (год, месяц);
Sn–сумма, полученная после сложного процентного прироста.
“Правило креста”
“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.
Слева, на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху - большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.
|
Смешение растворов |
Приготовить 40%-ный раствор из 65%-ного и 20%-ного растворов. Таким образом, для приготовления 40%-ного раствора необходимо взять 20 мас.ч. 65%-ного раствора и 25 мас.ч. 20%-ного раствора. |
|
Разбавление раствора до требуемой концентрации прибавлением растворителя. |
Приготовить 20%-ный раствор из 45%-ного раствора. Таким сбразом, для приготовления 20%-ного раствора необходимо взять на 20 мас.ч. 45%-ного раствора 25 мас.ч. растворителя. |
II.Типовые задачи на проценты
№1 В морской воде 6%соли.Сколько соли в 250кг.воды?
Решение:
250*6/100= 15 г. А можно так: 250*0,06= 15.
№2 Какую часть часа составляют 36 минут? И сколько это процентов?
Решение:
36/60=0,6; 36 мин=0,6часа. Чтобы перевести данное число в % надо умножить на 100%
Ответ: 60%.
№3 Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?
Решение:
Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг).
Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза.
Найдем эту новую массу: 0,2 : 0,02 = 10 (кг)
Ответ. 10 кг.
22 кг
Решение: В 22 кг свежих грибов 90% воды, а 10% - абсолютно сухая основа грибов (сухой остаток).
Вычислим сухой остаток: 22*10% = 22*10/100 = 2,2 кг.
В сухих грибах содержится 12% воды, значит
этот сухой остаток (2,2 кг) в сухих грибах составляет 100% - 12% = 88%.
2,2 кг /88% *100% = 2,5 кг
Ответ: 2,5
№5 Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%.
После подсушивания влажность грибов снизилась до 98%. Найдите массу грибов после подсушивания.
Решение:
В 100 кг грибов 99% воды, т.е. 100*99/100 = 99кг воды и 1кг абсолютно сухих грибов.
После подсушивания в полученных грибах - 98% воды и 2% абсолютно сухих грибов. Значит, 1кг абсолютно сухих грибов составляет теперь 2%, тогда найдем 100% (новый вес грибов).
1кг /2% * 100% = 50 кг
Ответ: 50 кг грибов стало после подсушивания
№6 Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
Решение :составим пропорцию:
2кг изюма — 32%
х кг винограда — 100%
х=2·100/32 = 6,25
Ответ: Из 6,25кг
№7 В математическом кружке где занимается Оля, девочки составляют менее 5%.Какое наименьшее число мальчиков может быть в таком кружке, при наименьшем количестве девочек?
Решение:
В математическом кружке точно есть одна девочка (Оля) - наименьшее число девочек, тогда число всех детей в кружке 1·100 : 5 = 20 детей
Мальчиков в кружке 20-1=19
Ответ: наименьшее число мальчиков 19
№8 В хоровом кружке, где занимается Петя, более 93% участников - девочки. какое наименьшее число детей может быть в таком кружке?
Решение:
Девочек 94%, тогда мальчиков - 6%
д: м = 94:6 = 47:3 всего детей 47+3 = 50
Девочек 95%, мальчиков - 5%.
д:м = 95:5 = 19:1 всего детей 19+1 = 20 - наименьшее число детей
Д - 96%, м - 4% д:м = 96:4 = 24:1 всего детей 24+1=25
Д- 97%, м - 3% д:м = 97:3 всего 97+3=100
98% и 2% --> д - 49, м - 1, всего 50
99% и 1% всего 100
Ответ: 20
№9 Семья заготовила на зиму 180 кг картофеля.
К концу зимы картофеля было израсходовано на 40% больше, чем его осталось. Сколько кг картофеля осталось к концу зимы?
Решение: Пусть осталось х кг картофеля, тогда израсходовали (180-х) кг.
Разница между израсходованным и оставшимся картофелем составляет (180-х)-х кг, что равно 40% от х или 0,4х.
Составим уравнение: 180 - х - х = 0,4х
180 - 2х = 0,4х
180 = 2,4х
х = 180/2,4
x = 75 (кг)
Ответ: 75 кг осталось картофеля.
№10 В трёх книгах 520 страниц. Число страниц во второй книге составляет 40% числа страниц в первой, а число страниц в третьей составляет 1/3 числа страниц в первой. Определите, сколько страниц в каждой книге.
Решение:
Пусть в первой книге х страниц, тогда во второй 40% от х , т.е. 0,4х, а в третьей х/3.
Составим уравнение: х + 4х/10 + х/3 = 520
Приведем к общему знаменателю 30.
30х/30 + 12х/30 + 10x/30 = 520
52x/30 = 520 / делим обе части уравнения на 52
х/30 = 10
x = 10·30
x=300 (страниц в первой книге)
300· 0,4 = 120 (стр. во второй)
300/3 = 100 (стр. в третьей).
Ответ: 300, 120, 100
№11 Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?
Решение:
Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8х кг, а после увеличения веса на 30% стал весить 0,8х·1,3 кг и т.д., в итоге Женя весил 0,8х·1,3·0,8·1,1, или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.
Ответ. Нет.
III. Задачи экономического содержания
№12 В течение зимы завод выпустил 4225 холодильников. Сколько холодильников выпускалось ежемесячно, если 18% холодильников, выпущенных в январе, равны 27% холодильников, выпущенных в декабре и 36% холодильников, выпущенных в феврале?
Решение: Пусть в январе выпустили х холодильников.
Тогда 18%х=0,18х составляет 27% от тех, что выпустили в декабре.
0,18х/27% ·100% = 18x/27 = 2x/3 - выпустили в декабре.
Аналогично, 0,18х/36·100 = 18x/36 = x/2 - выпустили в феврале.
Уравнение: х + 2х/3 + x/2 = 4225.
13х / 6 = 4225, x = 4225/13*6, x = 1950 (янв), 2x/3 =1300 (дек), x/2 = 975 (февр).
Ответ: 1950,1300,и 975
№13 До повышения тарифов за проезд стоимость билета на маршрутном такси составляла 10 рублей, а после повышения 11 рублей. На сколько процентов увеличилась оплата проезда?
Решение:
Iспособ:1) 11 : 10 ·100% =110% - после повышения тарифа
2) 110%-100% = 10% - ответ
IIспособ: С помощью пропорции:
10 руб. - 100%
11 руб. - х% х%=11·100/10 = 110%
110%-100% = 10%
Ответ: на 10% увеличилась оплата проезда
№14 Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
Решение:
Пусть первый изготовил х деталей и это 100%, тогда второй изготовил 100%+15%=115% от х,
т.е. х/100·115 = 1,15х деталей, а вместе они изготовили
х+1,15х, что равно 86 деталей.
Уравнение: х+1,15х = 86; 2,15х = 86; х= 86 / 2,15;
х=40 (деталей) - изготовил первый,
86–40=46(деталей) - изготовил второй.
Ответ: 40 и 46.
№15 1,2 млн. рублей, на 1,5 млн. рублей. Определите, на сколько процентов картон второго сорта дешевле картона первого сорта, если картона второго сорта было закуплено на 10 т. больше и он был на 20 руб. /кг дешевле первого.
Решение: Пусть первого сорта х тонн=1000х кг, тогда его цена = 1200 000/(1000х) = 1200/х руб. за кг.
Второго сорта х+10 тонн = 1000(х+10) кг,
его цена 1500 000/(1000(х+10)) = 1500/(х+10) руб. за кг.
1200/х - 1500/(х+10) = 20. х2 + 25х - 600 = 0. х=15 тонн.
Цена первого 1200/ 15 = 80 руб. за кг,
цена второго 80-20=60 руб. за кг.
Посчитаем %: (80-60)/80·100% = 25%.
Ответ: на 25%.
№16 Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?
Решение:
Пусть а – цена изготовителя. Тогда оптовая цена одного альбома 1,3а, т.к. она больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в магазине 1 альбом стоит: 1,3а·1,2а = 1,56а руб. При распродаже цена снизилась на 10%. т.е. на 0,156а руб. Получаем цену альбома после снижения 1,404а руб., а это составляет 70,2 рубля.
Решая уравнение 1,404а = 70,2, находим, что цена изготовителя а равна 50 руб. Покупатель заплатил на 20,2 рубля больше по сравнению с ценой изготовителя.
Ответ. На 20,2 рубля.
№17 Зарплату повысили на р%, затем новую зарплату увеличили на 2р%. в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?
Решение:
Пусть до повышения зарплата составляла 100%.
(100+р) % - после первого повышения.
(100+р)%·(1+2р/100) - после второго повышения.
Зарплата увеличилась в 1,32 раза после двух повышений, значит, составляет132%.
Уравнение (100+р)(1+2р/100)% = 132%
10000 + 100р + 200р + 2р2 = 13200.
р2 + 150р - 1600 = 0. р= (–150+170)/2 = 10%.
Ответ: на 10%.
№18 Некоторый товар поступил в продажу по цене 300 рублей. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течении недели остаётся неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течении третьей недели?
Решение: В первый день второй недели цена снизилась на 10%, значит,
стала равна 90% от 300руб, т.е. 300/100*90 = 270 рублей.
В первый день третьей недели цена стала равна 90% от 270 рублей,
т.е. 270/100*90 = 243 рубля.
Второй способ.
Найдем 10% от 300 рублей и вычтем. 300·0,1 = 30 300-30 = 270
Найдем 10% от 270 рублей и вычтем. 270·0,1 = 27 270 - 27 = 243 рубля.
Ответ: 243 рубля.
№19 В течение декабря ОАО ТМП перевело с расчетного счета в банке Огни Первопрестольной (Москва, Россия) на счет в банке "Libertados Mercosur" (Санто-Доминго, Доминиканская республика)
50% от имевшихся на счету денежных средств,
затем еще 10 млн. долларов,
затем еще 5% от оставшихся на счету денег.
При этом сумма денег на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur" увеличилась на 31%.
Сколько денег было на расчетном счету ОАО ТМП в банке Огни Первопрестольной в начале декабря, если на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur" изначально было 200 млн. долларов.
Решение:
Заменим громоздкие названия на"Фирма 1" и "Фирма 2".
Пусть на фирме 1 было вначале х млн.долл.
х/2 + 10 + (x/2 -10)·5% - было перечислено и это составило 31% от 200 млн.долл.
или:0,5x +10+0,025x -0,5=0,525x +9,5
31% от 200 это 62
Соответственно
0,525x=52,5
X= 100 млн.
Ответ:100млн. долларов.
№20 Транспортный караван компании "Intermarket" проследовал из Камбоджи в Мьянму, проехав транзитом через территорию Таиланда. В Камбодже была уплачена 12% экспортная пошлина, в Таиланде компания заплатила 8% транзитную пошлину, а в Мьянме —15% импортную пошлину. Какова была первоначальная стоимость груза, если после уплаты указанных пошлин она составила $405 тысяч, а пошлины рассчитывались в процентах от первоначальной стоимости груза.
Решение: По условиюпошлины рассчитывались в процентах от первоначальной стоимости груза.
Значит, проценты просто суммируем. И лучше стоимость считать в процентах.
Первоначальная 100%, конечная - 135%
405/1,35 = 300 тыс.
Ответ: 300 тыс.- первоначальная стоимость
№21 Два землекопа вспахали поле. Производительность первого землекопа на p%
больше, чем второго, но он работал в к раз меньше. Какую часть поля вспахал второй землекоп?
Решение: если говорится, что производительность первого больше, чем второго, то принимаем производительность второго за 100%, тогда производительность первого будет (100+р)%. Он работал в k раз меньше, поэтому выполнил (100 +р)/k %.
Вспашка всего поля составляет 100+ (100+p)/k %.
Берем отношение выполненной работы вторым работником ко всему объему работ, т.е.
100 / (100+(100+p)/k). Запишем в виде дроби и упростим. Получится:
100k / (100k+100+p).
Ответ: второй землекоп вспахал 100k / (100k+100+p) часть поля.
№22 Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?
Решение:
Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали производить х + 0,25х = 1,25х = 5/4х деталей за смену. С новой производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .
Ответ. На 20%.
№23 Богатый дядюшка оставил четверым своим племянникам 272 млн. долларов, причем они были разделены на четыре части так, что вторая составляет 15% первой, третья —60% второй, тогда как четвертая —50% от величины второй и третьей вместе взятых. Чему равна меньшая часть наследства?
Решение
Первому — х млн. руб. Второму — 0,15х. Третьему - 0,15x*0,6=0,09x Четвертому - 0,5· (0,15x+ 0,15x·0,6)= 0,12x
Суммируем, приравняем x+0,15x+0,09x+ 0,12x = 272 млн,
1,36x=272 млн,
x=200 млн.
Получается: 1-му -200 млн.,
2-му - 0,15·200=30 млн.,
3-му - 0,09·200 =18 млн.,
4-му - 0,12· 200= 24 млн.
Ответ: Меньшая часть наследства = 18 млн.
№24 По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:
В конце первого года сумма составляет 55000 руб. Теперь начисляем 10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 руб. Чтобы найти весь доход за три года, находим 110% от 60500, а это число равно 66550.
Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.
Ответ. 16550 руб.
IY. Задачи на сплавы и смеси
№25 Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди.
Решение:
Определим количество меди в сплаве. 36·0,45=16,2 кг.
Можно это определить также из пропорции
36 - 100%,
х - 45%. --> х=36·45/100 = 16,2)
Добавим к сплаву у кг меди. Получим пропорцию:
36+у - 100%
16,2+у - 60%
100(16,2+у) = 60·(36+у);
1620+100у = 2160+60у;
40у=540;
у=540/40=13,5.
Ответ: 13,5 кг.
№26 Вычислить массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получили сплав 900-ой пробы),а сплавив с 2 кг сплава 900-ой пробы, получили сплав 840-ой пробы.
Решение: Пусть масса данного сплав х кг, а чистого серебра в нем у кг.
90-я проба означает, что в сплаве содержится 90% серебра, т.е. 0,9 части всего сплава.
Добавив 3 кг чистого серебра, получили сплав массой х+3 кг,
в нем серебра у + 3 кг.
(у+3) / (х+3) = 0,9 (1)
В 2-х кг сплава 900-й пробы содержится 2·0,9=1,8 кг чистого серебра.
Во втором случае получим 840-ю пробу. Масса сплава х+2 кг, в нем серебра у+1,8 кг.
(у+1,8) / (х+2) = 0,84 (2)
Решим систему уравнений (1) и (2).
у + 3 = 0,9х + 2,7 (3)
у + 1,8 = 0,84х + 1,68 (4)
Вычтем из (3) уравнение (4).
1,2 = 0,06х + 1,02
х=3 кг - масса сплава
у + 3 = 0,9·3 +2,7
у=2,4 кг - масса серебра в данном сплаве.
Проба: х/у·100 = 2,4/3·1000 = 800
Ответ:3кг; 800
№27 Для получения сплава из олова, меди и никеля олова берут на 20% больше, чем меди, и в 1,5 раза меньше, чем никеля.
Найдите процентное содержание в данном сплаве никеля. Какую часть сплава составляет медь?
Решение:
Пусть меди взяли х, тогда олова взяли 120% от х, т.е.
х· 120/100 = 1,2х.
Никеля взяли в 1,5 раза больше, чем олова,
т.е. 1,2х·1,5 = 1,8х.
1) Масса всего сплава х + 1,2х + 1,8х = 4х.
4х = 100%,
х= 100% / 4 = 25%.
2) Никеля взяли 1,8х = 1,8 ·25% = 45%
3) Медь составляет х/(4х) = 1/4 часть сплава.
Ответ:1/4 часть сплава составляет медь.
№28 Из двух сплавов, один из которых содержит 20% олово, а другой - 40% олова, необходимо получить сплав массой 4 кг, который содержал бы 25 % олова. Сколько килограммов каждого сплава необходимо для этого взять?
Решение: Пусть первого сплава надо взять х кг,
тогда второго 4-х кг.
Олова в первом сплаве 20% от х, т.е. 0,2х кг,
во втором - 40% от (4-х), т.е. 0,4(4-х) кг.
В новом сплаве олова 4·25% = 4/100·25 = 1 кг.
Уравнение: 0,2х + 0,4(4-х) = 1
0.2х+1.6-0.4х=1
1.6-1=0.4х-0.2х
0.6=0.2х
х=0.6:0.2
х=3(кг)первого сплава, 4-3=1(кг)второго сплава.
Ответ:3кг,1 кг.
№29 В каком соотношении нужно взять сплавы золота 30% и 55%,чтобы получить новый сплав 40% золота?
Решение: Одного сплава взяли х, а второго — у.
Уравнение: 0,3х + 0,55у = 0,4(х+у)
0,3х+0,55y = 0,4x + 0,4y
0,15y = 0,1x; 15y = 10xy/:x = 2:3
Ответ: 4:6 = 2:3
№30 20 г
Решение:
Было: масса сплава — х г, серебра — (х — 20) г.
Процентное содержание серебра: 100 · (х — 20) / х
Стало: добавили 5 г серебра и 10 г золота.
Вес сплава (х + 5 + 10) = х + 15 (г).
Вес серебра (х — 20 + 5) = (х — 15) г
Процентное содержание серебра:
100 · (х — 15) / (х + 15)
Составим уравнение:
100 · (х — 15) / (х + 15) - 100 · (х — 20) / х = 5
100 · (х — 15) · х - 100 · (х — 20) · (х + 15) = 5 х (х + 15)
100х2 – 1500х — 100 (х2 – 5х — 300) = 5х2 + 75х
100х2 – 1500х — 100 х2 + 500х + 30000 = 5х2 + 75х
5х2 + 1075х — 30000 = 0
х2 + 215х — 6000 = 0
х = 25 (х = -240 — не удовлетворяет)
25 — 20 = 5 (г) — серебра в первоначальном сплаве
Ответ: 5г серебра содержал первоначальный сплав.
№31 Смешали 250 г, 300 г и 450 г азотной кислоты соответственно* 20%, 30% и 40% концентрации. Какова концентрация смеси?
Решение:
1) Общая масса раствора: 250+300+450=1000 г
2) 250·0,2 + 300·0,3 + 350·0,4 = 50 + 90 + 140 = 270 г - кислоты в растворе после смешивания
3) 270/1000 ·100% = 27%
Ответ: 27.
№32 Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре
с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?
Решение. В 35 г пюре содержится 35 · 0,08 = 2,8 г воды и 35 - 2,8 = 32,2 г сухого вещества.
Добавим в пюре х г воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нём - (2,8 + х) г.
Заметьте, что сухого вещества останется по-прежнему 32,2 г.
Составим пропорцию:
|
35 + x |
— |
100% |
|
2,8 + x |
— |
86% |
Решим пропорцию: (35 + x)·86 = (2,8 + x)·100
Получим: 3010 + 86x = 280 + 100x; 2730 = 14x; x = 195.
Ответ: 195 грамм воды.
№33 Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?
Решение: Найдем соль в морской воде: 40кг·5%=40·5/100= 2 кг.
Пусть х кг чистой воды надо добавить.
Пропорция:
40+х кг — 100%
2 кг — 2% 2(40+х) =2·100 х=60 кг воды
Ответ: 60 кг пресной воды нужно добавить.
№34 Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?
Решение: Пропорция:12 кг - 100%
а кг - 45%, а=12·45/100=5,4 кгмеди и 12-5,4=6,6 кг олова содержал сплав изначально.
Пусть х кг чистого олова нужно добавить.
Было: масса сплава — 12кг, олова — 6,6 кг.
Стало: добавили х кг олова. Вес сплава (12+х) кг, олова –(6,6+х)кг.
Получим пропорцию: 5,4 кг - 40% меди
(6,6+х) кг - 60% олова, откуда
6,6+х=5,4·60/40=8,1
х=8,1-6,6=1,5 кг
Ответ:1,5кг олова нужно добавить к сплаву.
№35 Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10-ный раствор?
Решение: 1) 0,16·735=117,6г йода имеется, спирта же было
735-117,6=617,4г
2)в новом растворе: 117,6г - 10% йода
х г - 90% спирта,
х=117,6·90/10=1058,4г
3) необходимое количество спирта -1058,4 - 617,4г = 441 г.
Ответ: 441г.
№36 Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
Решение: Пусть следует выпарить х кг воды.
1) Было: 0,85воды и 0,15 целлюлозы, общее количество 0,5т=500кг.
0,15·500=75кг целлюлозы в 500кг массы и 500-75=425 кг воды
2) Стало: в новом растворе: 0,75 воды и соответственно 0,25 целлюлозы
0,25 — 75 кг целлюлозы
0,75 — х кг воды, х= 0,75·75/0,25 = 225 кг воды должно остаться, значит выпарить следует 425- 225=200 кг воды.
Ответ: 200кг
№37 Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Решение:
1) Было: Составим пропорцию: 30 кг — 100%
х кг - 5%, х = 30·5/100=1,5 кг соли
и 30-1,5= 28,5кг воды.
2) Стало: в новом растворе: 1,5 кг соли — 1,5%
у кг - 98,5%, у = 98,5 кг воды должно быть.
3) 98,5-28,5=70 кг пресной воды следует добавить.
Ответ: 70 кг.
№38 Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
Решение: Пропорция:36 кг - 100%
а кг - 45%, а=36·45/100=16,2 кгмеди и 36-16,2=19,8 кг цинка содержал сплав изначально.
Пусть х кг чистой меди нужно добавить.
Было: масса сплава — 36кг, меди -16,2 кг.
Стало: добавили х кг меди. Вес сплава (36+х) кг, меди –(16,2+х)кг.
Получим пропорцию:19,8 кг– 40% цинка
(16,2+х)кг -60% меди, откуда 16,2+х=19,8·60/40= 29,7
х = 29,7-16,2
х = 13,5 кг
Ответ:13,5кг меди нужно добавить к сплаву.
№39 Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение: 30% 5
15%
10% 15
Пояснение к схеме: первый столбец (30% и10%) смешиваемые растворы;
Второй столбец (15%) требуемый раствор;
Третий столбец - разность по направлению стрелок(15-10=5 и 30-15 =15)показывает необходимое соотношение смешиваемых растворов.(СмI раздел)
нужно взять в отношении 5:15 или 1:3
х+3х=600, 4х=600 , х =600:4=150 г первого раствора и 3·150 = 450 г второго раствора.
600г — 100%
х г -15%, х = 600·15/100 = 90 г соли содержит новый раствор
Ответ: 150г и 450 г.
№40 Имеются два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?
Решение:
300г - 100%
m - 60%
m=180г. олова
Пусть х г от второго куска надо прибавить к первому, тогда масса нового сплава будет равна (300+х). Масса олова составила (180+0,4х)г.
Составим пропорцию:
(300+х) - 100%
(180+0,4х) - 56%
56(300+х)=100(180+0,4х)
х=75г.
Ответ: 75г от второго куска надо добавить к первому.
№41 Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение:
До сплавления в двух кусках было
300·20 / 100 + 200·40/100 = 140 г олова.
После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140·100/500 (%) = 28(%) олова.
Ответ. 28%.
№42 В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.
Решение:
В данной задаче объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%)
Ответ. 20%
№43 Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?
Решение.:
Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1·4=0,4, или 0,05х+0,25·(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4.
Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.
Ответ. 3 л первого и 1 л второго.
№44 Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении
3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?
Решение:
Пусть нужно взять х кг первого и у кг второго сплава.
В х кг первого сплава серебра будет (3/5)∙х кг,
а в у кг второго сплава серебра будет (7/10)∙у кг.
Масса нового сплава (х+у) кг, и в нем серебра будет (11/16)∙(х+у) кг.
Составим уравнение: 3х /5 + 7у /10 = (11/16) ∙(х+у)
6х + 7у = 55(х+у) / 8
48х + 56у = 55х + 55у
y = 7x.
Т.е. первого сплава надо взять одну часть, а второго 7 частей.
Ответ. Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.
№45 Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.
Решение:
Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:
100· p/100 + 200· q/100=50·(100+200)/100
300 p/100 + 200 q/100=42·(300+200)/100.
Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%.
Ответ. 60%
Литература
10. Цыпкин А.Г., Пинский А.И.Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Москва, издательство «Наука»,1983г.
