Россия, Республика Саха (Якутия), Сунтарский улус, с. Сунтар
МБОУ "Сунтарская СОШ №1 им. А.П.Павлова"
Учитель математики
Сергеева Марианна Кононовна
Введение
Элективный курс по теме « Экономико-математические методы и модели» разработан для учащихся 10-11 классов.
Объект исследования — экономика в школе.
Предмет исследования — экономико-математические методы и модели.
Актуальность - в настоящее время методы математического моделирования являются одними из важнейших методов исследования в экономической науке.
Цель исследования — ознакомление учащихся с сущностью экономико-математического моделирования, их объективной обусловленности процессами общественного развития, определение их места в системе экономических отношений, возможности использования методов моделирования в решении различных экономических задач.
Поставленная цель достигается в процессе решения следующих задач:
В России к серьезным достижениям в этой области можно отнести модели поведения потребителя Е. Слуцкого, открытие длинных волн в экономике Н. Кондратьевым, разработку первого баланса народного хозяйства В. Леонтьевы, труды Л. Канторовича, В. Новожилова, В. Немчинова, В. Макарова и т.д. Работы Л.В. Канторовича по задачам оптимизации явились новым этапом в развитии экономико-математических методов. На основе разработанных задач оптимизации появился новый раздел прикладной математики «Линейное программирование». В своей книге «Математические методы организации и планирования производства» Канторович разрабатывает методы и применяет линейное программирование для решения различных экономических задач: разгрузка оборудования, комплексное использование сырья, раскрой материалов, распределение площадей под посевы культур, составление плана перевозок и т.д
Глава 1. Математическое моделирование и его особенности в экономике
Математические методы моделирования состоят из математических методов моделирования анализа и расчета моделей и из области их применения (конкретные экономические процессы и объекты, исследуемые с помощью этих математических методов).
Существуют различные формы моделирования. По средствам моделирования модели разделяются на материальные и идеальные.
Материальное моделирование предполагает связь модели с объектом исследования на материальной основе. Примерами материального моделирования являются физическое (н-р, построение конструируемой лампы с определенным световым потоком) и аналоговое моделирования (объект или явление изучается с помощью других, имеющих другую физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями).
Идеальное моделирование строится на мысленных связях между моделью и объектом исследования. Его разделяют на формализованное и неформализованное (интуитивное). В первом случае объект моделируется с помощью систем знаков такими как чертежи, графики, схемы, символы, формулы и т.д. Математическая модель является одной из важных знаковых моделей.
Математический анализ математической модели экономической системы состоит из четырех основных стадий: 1) постановка проблемы; 2) построение математической модели (формализация проблемы); 3) математическое исследование (математический анализ и численный расчет); 4) осмысливание математического решения.
1). Необходимо четко сформулировать суть проблемы, принимаемые предпосылки и вопросы. Описание объекта исследования, выделение существенных элементов и факторов, выдвижение гипотезы, целей и задач исследования являются содержанием данной стадии.
2). Реальный объект (процесс) исследования бесконечно сложен. При построении модели необходимо провести некоторые допустимые упрощения. Математическая модель должна охватывать важнейшие для данной задачи стороны исследуемого объекта (процесса). Наиболее сложная и ответственная работа заключается в выборе связей и характеристик объекта, существенных для данной проблемы и подлежащих формализации и включению в математическую модель.
На этом этапе записываются в виде математических формул соотношения между выделенными факторами (выбранные характеристики входят в уравнения в виде коэффициентов), описывающих экономическую систему (процесс). При этом зависимости должны удовлетворять гипотезам и известным свойствам исследуемого процесса.
3). С помощью сложных математических рассуждений и доказательств исследуются свойства решений построенной модели, вопросы о существовании требуемых решений.
В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для простых моделей удается получить аналитические решения. Для более сложных и точных моделей используются приближенные математические методы, а для наиболее сложных и точных моделей — численные методы.
4). Производится сопоставление реальных известных числовых характеристик исследуемого объекта и полученных теоретически величин. Если расчеты хорошо согласуются с реальными условиями, то такую модель можно использовать для расчетов процессов данного типа. Если же расчет и реальный процесс не согласуются, то модель необходимо пересмотреть и уточнить.
Глава 2. Практическая часть. Программа элективного курса
При изучении курса «Экономико-математические методы и модели» следует обратить внимание на его связь с другими предметами. Изучение и понимание современных экономико-математических методов предполагает достаточно серьезную математическую подготовку. Для освоения задач и методов необходимы знания основных понятий и элементов математики, матричной и векторной алгебры: «матрицы и определители», решение систем линейных уравнений (теорема Крамера), линейные векторные пространства и т.д.
Небольшой объем курса (12 часов) позволяет встраивать его как модуль в систему профильной подготовки образовательного учреждения.
Программа элективного курса
Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование;
Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые «доход-потребление»; кривые «цены-потребление»; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов;
Итоговый контроль. Для контроля усвоения курса предусмотрен зачет. Зачет является итоговой по дисциплине.
Текущий контроль. В течение курса выполняются контрольные задания. Результаты выполнения этих работ являются допуском для сдачи зачета.
Тематический план учебной дисциплины
|
Темы занятий |
Рассматриваемые вопросы |
Количество часов |
||
|
1 |
Экономико-математические методы |
Общее понятие о математическом моделировании. Моделирование процессов наилучшего использования ресурсов |
3 |
|
|
2 |
Экономико-математические модели |
Моделирование спроса и потребления. Модели общего экономического равновесия. Балансовые модели. |
3 |
|
|
3 |
Экономико-математические методы: линейное, целочисленное программирование; графический и симплекс-методы; метод Гомори; двойственные оценки; |
Изучение литературы, методических указаний по решению задач Контрольная работа: решение задач |
3 |
|
|
Экономико-математические модели: функции полезности, кривые безразличия, кривые «доход-потребление», кривые «цены-потребление»; |
Изучение литературы |
3 |
||
2.1. Примеры задач
Задача 1. Предприятие изготовляет два вида изделия А и В. Эти изделия обрабатываются в трех цехах. В таблице 1 приведены трудоемкость изготовления каждого изделия по цехам, полезный фонд времени работы цехов в планируемом периоде, величина прибыли, получаемая предприятием от продажи одного изделия каждого вида. В планируемом периоде необходимо изготовить не меньше одного изделия каждого вида.
- построить математическую модель
- рассчитать полученную модель
- определить производственную программу предприятия, позволяющей получить максимальную прибыль
Задачу решить графическим методом.
Таблица 1.
|
№ цеха |
Полезный фонд времени работы в тыс. нормо-часов |
Трудоемкость изготовления одного изделия в тыс. нормо-часов |
|
|
Изделие А |
Изделие В |
||
|
1 2 3 |
16 10 20 |
||
|
Цена в млн. руб. |
2 |
3 |
|
Решение: 1. Построение математической модели.
Пусть - искомое количество производимых изделий А;
- искомое количество производимых изделий В.
Тогда производственная программа предприятия по выпуску изделий А и В описывается вектором .
Первый цех затрачивает тыс. нормо-часов на производство искомого количества изделий А и искомого количества изделий В.
Второй цех затрачивает тыс. нормо-часов на производство искомого количества изделий А и искомого количества изделий В.
Третий цех затрачивает тыс. нормо-часов на производство искомого количества изделий А и искомого количества изделий В.
При этом величины нормо-часов по производству изделий А и В не должны превышать имеющихся полезных фондов времени каждого цеха.
Также необходимо учесть, что количество изделий не может быть отрицательным по смыслу задачи.
Запишем эти условия в математической форме:
Доход от реализации изделий обозначим через z. По условию задачи он составляет: , что требуется максимизировать.
Таким образом, получаем типичную задачу линейного программирования с линейными ограничениями и с линейной целевой функцией z.
Т.к. по условию задачи только две неизвестные, то ее можно решить графическим методом.
При графическом методе решения задачи линейного программирования вначале строится область ее допустимых решений (ОДР). Если ОДР ≠0, то ОДР геометрически представляет собой многоугольник, получаемый при пересечении полуплоскостей, соответствующих неравенствам задачи. Затем в ОДР находится точка максимума линейной целевой функции z.
Построим ОДР. Каждое неравенство задачи на плоскости описывает некоторую полуплоскость. Для нахождения полуплоскости строится граничная прямая этой полуплоскости, определяемая уравнением полученной из неравенства заменой знака неравенства на знак равенства.
Таким образом, получаем следующие уравнения граничных прямых и соответствующие им таблицы с координатами двух точек на этих прямых:
1).
|
0 |
8 |
|
4 |
0 |
2).
|
0 |
10 |
|
10 |
0 |
3).
|
0 |
5 |
|
10 |
0 |
4). - оси координат.
Строим оси координат и проводим на плоскости прямые (1), (2), (3). Для определения по какую сторону расположена полуплоскость от граничной прямой необходимо выбрать не лежащую на этой прямой пробную точку. Координаты пробной точки подставляются в соответствующее неравенство и, если неравенство при этом выполняется, то искомая полуплоскость лежит по ту же сторону, что и пробная точка. В противном случае полуплоскость расположена по другую сторону от граничной прямой.
В качестве пробной точки для всех полуплоскостей (1, 2, 3) выберем начало координат, т.к. она не лежит ни на одной из них. Очевидно, что все неравенства выполняются, соответственно все полуплоскости (1, 2, 3) расположены на той же стороне от прямых (1), (2), (3), что и начало координат.
Тривиальным неравенствам отвечают полуплоскости лежащие справа от оси и выше оси соответственно.
На рис. 1 показана ОДР — четырехугольник ОАВС, полученная в результате пересечения всех полуплоскостей.
Рис. 1
Найдем в области ОАВС точку максимума целевой функции z. Для этого рассмотрим градиент функции z: .
Из начала координат проведем вектор по направлению к точке (2,3). Перпендикулярно этому вектору проведем прямую, например, в нашем случае через начало координат. Такая прямая называется линией уровня линейной функции z, а перпендикулярный вектор — нормалью к линии уровня.
При движении линии уровня параллельно в направлении нормали целевая функция z будет возрастать, при движении обратно — убывать.
Для того чтобы найти максимальное значение целевой функции, двигаем линию уровня по направлению возрастания функции и находим последнюю точку пересечения ОДР и линии уровня — точку максимума целевой функции. Итак, искомая точка — это точка пересечения (1) и (3) прямых.
Определим координаты этой точки аналитическим путем решения системы уравнений:
В результате решения получаем, что . Т.е. оптимальная производственная программа состоит в производстве 4 изделий А и 2 изделий В. Тогда максимальная прибыль составит млн. руб.
Данный курс проводился мною в 2008 и 2009 учебных годах в 10-11 классах ССОШ№1. При решении таких задач у учащихся формируется интерес к математике как к науке и идет профориентация будущей профессии. Из моих выпусков этих лет 10 учеников поступили в математические и экономические вузы, 15 — в учебные заведения с профилирующим предметом «математика»:
Выпуск 2008 года
Выпуск 2009 года
Заключение
Имеющиеся в наше время возможности самостоятельно определять и внешние, и внутренние условия деятельности предприятия увеличивают роль математических моделей, оптимизационных и информационных моделей для более активного поиска путей наилучших решений задач, встающих перед предприятием, их обоснования и оценки надежности этих решений.
Использование методов моделирования дает возможность исследовать явление или объект, которые нельзя было изучить непосредственно, либо избежать дороговизны исследования из-за больших затрат времени и ресурсов.
Анализ полученных новых знаний, сверка их со сложившимися представлениями, опытом и интуицией являются этапами процесса моделирования. Кроме этого в случае расхождения полученных данных с существующими реальными и появления сомнений в исследовании объекта с помощью модели проводятся уточнение и корректировка модели (изменение условия, отображающие функционирование реального объекта), т.е. эксперименты с моделью могут повторяться неоднократно до получения приемлемых выводов и результатов.
Данный курс дает возможность учащимся старших классов ознакомиться с теоретическими основами экономико-математического моделирования, важностью его в системе экономических отношений. В процессе решения экономических задач учащиеся развивают исследовательские умения. Курс дает возможность иметь представление о профессии экономиста в современном обществе, помогает в осознанном выборе будущей профессии.
Литература
