Регион: Казахстан, Кызылординская область
Кызылординская область, Казалинский район, кент Айтеке би .
учитель математики, школа - лицей № 266
Избасар Лаура Разаковна
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Межпредметная связь: черчение, физика.
Оснащение занятия: раздаточный материал, презентации по теме, тестовые задания по математике, формулы.
Учащийся должен знать: определение вектора, координаты вектора, действия производимые над векторами, разложение вектора по координатным осям.
Учащийся должен уметь: решать задачи на вектора.
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания - 17мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 25 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 3 мин
Ход занятия
I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Сколько координат имеет точка в пространстве. (3)
2. Как найти координаты точки в пространстве.
(Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки- нули )
3. Дайте определение параллельного переноса
(параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,b,c- постоянные)
Письменный опрос
1.Запишите формулу расстояния между между двумя точками через координаты этих точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
( ,
чтобы найти расстояние между двумя точками надо от координат конца отнять координаты начала )
2.Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
( где (x,y,z)- координаты середины отрезка )
Проверка домашнего задания проводится путем решения задач у доски
- Выполните задание №176, стр 58, §21
№176. Найдите расстояния от точки (2;-2;3) до :
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат;
Решение: Обозначим данную точку через А (2;-2;3), тогда
1)Рассмотрим координатные плоскости
xy В (2;-2;0) тогда
xz С (2;0;3) тогда
yz D (0;-2;3) тогда
2)Рассмотрим координатные оси
Ось х М (2;0;0) тогда
Ось y N (0;-2;0) тогда
Ось z K (0;0;3) тогда
3) Рассмотрим начало координат О (0;0;0)
III Объяснение нового материала
План изложения материала
Историческая справка.
1. Векторы в пространстве
2. Действия над векторами
3. Скалярное произведение векторов
4. Разложение векторов
1. Векторы в пространстве
В пространстве вектором называется направленный отрезок. Как и на плоскости в пространстве определяются такие основные понятия : абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. В стереометрии для вектора указывают три координаты: А (x,y,z).
z
у
Определение: Координатами вектора , начало которого точка а конец –точка , называются числа
.
Такой вектор записывают , указывая его координаты
B
A
Например. А(4;0;3) и В (0;6;4)- начало и конец вектора
Тогда
Рассмотрим вектор , тогда его длина вычисляется по формуле:
или
Длина нулевого вектора равна нулю:
Длина единичного вектора равна единице:
Два вектора ,лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены .
Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
2. Действия над векторами
Определение. Суммой векторов называется вектор с координатами
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника и правилом параллелограмма, которое широко применяется в физике.
В
А
С
B C
А D
B C
A D
Определение: Два вектора , сумма которых равна нулевому вектору , называют противоположными.
Например:
Определение: Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение: Произведением вектора на число k называется вектор
3. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов
Называется число
Таким образом
Определение: Углом между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки.
Угол между противоположно направленными векторами равен 1800, а между сонаправленными — 00.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.
,
отсюда
Если
Например. Найти если
Ответ:
4.Разложение векторов
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если отложить векторы , и от одной точки, то все они будут лежать в одной плоскости, поэтому они компланарные.
Три некомпланарных вектора называют ортами (единичными координатными векторами).
Пусть вектор , тогда
Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам
IV Закрепление нового материала
План закрепления материала
1. Вопросы на закрепление материала
2. Решение задач
3. Кроссворд
4. Тестовые задания
Вопросы на закрепление материала
1. Что называется вектором?
Как изображаются векторные величины?
2. Определите координаты вектора , где А-начало, а В-конец?
3. Как вычислить длину вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направлениях?
5. Сформулируйте определение суммы и разности векторов?
6. Что называется скалярным произведением векторов?
7. Сформулируйте определение угла между прямыми?
8. Какие действия можно производить над векторами?
9. Сформулируйте определение коллинеарных, компланарных векторов?
Что значит разложить вектор?
10. Какие вектора называются противоположными?
Решение задач.
№186. Найдите координаты вектора , если А (2;4;3) и В (3;7;6)
Решение:
№187. Найдите координаты начала направленного отрезка , соответствующего вектору , если его конец .
Решение:
Пусть координаты точки С(x, y, z)-?
По условию , поэтому
Следовательно получаем
Значит точка С(6; -4; -3)
№ 191. Найдите координаты вектора
Решение:
№194. Найдите сумму векторов , ,
Решение:
№195. Найдите сумму векторов:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
№196. АВСD-тетраэдр. Чему равна сумма ?
Решение:
№ 199. Найдите разность векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
№200. Умножьте вектор на число 0
Решение:
№ 211. Найти скалярное произведение векторов
1) 2)
Решение:
В ходе решения задач некоторые учащиеся работают по карточкам
Карточка №1
Дано Найти
Карточка №2
Дано: Найти
Карточка №3
Дано: А (1; 1; 0), В (4; 5; 3). Найти
Карточка №4
Дано: Найти ,
Карточка №5
Дано:
Найти c1, c2
Карточка №6
Дано: А(3; 6; 7) В (3; 7; 8). Найти 3
Карточка №7
Чему равна сумма векторов АВ+ВС+СД+ДК
Карточка №8
Дано: Найти АВ+СВ
Кроссворд на тему
п р о т и В о п о л о ж н ы й
Е д и н и ч н ы й
с
К а л я р н о е
к о о р д и н а Т а
о р т О г о н а л ь н о е
н а п Р а в л е н н ы й
1. Вектор (-а) называется ……………………………………..
2. Вектор, длина которого равна единице………..
3. Произведение двух векторов ……………………
4. Число, определяющее положение вектора …………………
5. Прямоугольное проектирование- это …………………проектирование
6. Вектором называется ……………………….отрезок
Тестовые задания на составление слова.
1.Чему равно
К) (1;-1;-5) Л) (1; 1; 5) М) (-1;1; 5) Н) (1; -1; 5) О) (-1;-1;-5)
2. Чему равно
М) (4; 5; 1) Н) (4; 6; 2) О) (4; 6; -2) П) (4; 5; -1) Р) (4; -6; 2)
3.М(4; -5; 2), К (2; -2; 1). Найти
Н) О) П) Р) С) 2
4.Дано .Найти
О) 17 П) 40 Р) -17 С) -27 Т)10
5.Найдите сумму векторов
А) (6;6;0) Б) (-2;5;6) В) (8;5;6) Г) (6;4;6) Д) (6;6;6)
6.Найдите разность векторов
И) (3; 2; 2) К) (3; 1; 1) Л) (11; 4; 6) М) (11; 2; 6) Н) (-3; 2; 2)
7. Разложить по ортам вектор
К) Л) М) Н) О)
8. Найти
А) (1;1;-11) Б) (-1;1;11) В) (-1;-1;-11) Г) (1;11;1) Д) (1;1;11)
9.Найти угол между векторами
П) Р ) С) Т) У)
10.Найти
А) 49 В) 7 С) -7 Д) 5 Е) 11
Получаем слово «Координата»
V Подведение итогов занятия
Проведем рефлексию
Сегодня на уроке я узнал (а)……………………
Сегодня на уроке я научился (лась)……………
Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….
Сегодня на уроке я применял (а)……………….
-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.
VI Задание на дом
В ходе работы разъяснить учащимся цель выполнения домашнего задания, раскрыть содержание задач, наметить наиболее рациональные пути их решения.
-Конспект изучить § 24 стр 62
-Решить задачу
№189. Найдите длины векторов
Решение:
№190. Длины векторов равны. Найдите х.
Решение:
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Время занятия: 90 мин
Место проведения: аудитория
Внутрипредметная связь: Планиметрия
Межпредметная связь: черчение, физика.
Оснащение занятия: раздаточный материал, презентации по теме, тестовые задания по математике, формулы.
Использованная литература: Ж. Кайдасов, В. Гусев, А. Кагазбаева. Геометрия 10 кл
Учащийся должен знать: определение вектора, координаты вектора, действия производимые над векторами, разложение вектора по координатным осям.
Учащийся должен уметь: решать задачи на вектора.
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания - 17мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 25 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 3 мин
Ход занятия
I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Сколько координат имеет точка в пространстве. (3)
2. Как найти координаты точки в пространстве.
(Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки- нули )
3. Дайте определение параллельного переноса
(параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,b,c- постоянные)
Письменный опрос
1.Запишите формулу расстояния между между двумя точками через координаты этих точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
( ,
чтобы найти расстояние между двумя точками надо от координат конца отнять координаты начала )
2.Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
( где (x,y,z)- координаты середины отрезка )
Проверка домашнего задания проводится путем решения задач у доски
- Выполните задание №176, стр 58, §21
№176. Найдите расстояния от точки (2;-2;3) до :
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат;
Решение: Обозначим данную точку через А (2;-2;3), тогда
1)Рассмотрим координатные плоскости
xy В (2;-2;0) тогда
xz С (2;0;3) тогда
yz D (0;-2;3) тогда
2)Рассмотрим координатные оси
Ось х М (2;0;0) тогда
Ось y N (0;-2;0) тогда
Ось z K (0;0;3) тогда
3) Рассмотрим начало координат О (0;0;0)
III Объяснение нового материала
План изложения материала
Историческая справка.
1. Векторы в пространстве
2. Действия над векторами
3. Скалярное произведение векторов
4. Разложение векторов
1. Векторы в пространстве
В пространстве вектором называется направленный отрезок. Как и на плоскости в пространстве определяются такие основные понятия : абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. В стереометрии для вектора указывают три координаты: А (x,y,z).
z
у
Определение: Координатами вектора , начало которого точка а конец –точка , называются числа
.
Такой вектор записывают , указывая его координаты
B
A
Например. А(4;0;3) и В (0;6;4)- начало и конец вектора
Тогда
Рассмотрим вектор , тогда его длина вычисляется по формуле:
или
Длина нулевого вектора равна нулю:
Длина единичного вектора равна единице:
Два вектора ,лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены .
Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
2. Действия над векторами
Определение. Суммой векторов называется вектор с координатами
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника и правилом параллелограмма, которое широко применяется в физике.
В
А
С
B C
А D
B C
A D
Определение: Два вектора , сумма которых равна нулевому вектору , называют противоположными.
Например:
Определение: Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение: Произведением вектора на число k называется вектор
3. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов
Называется число
Таким образом
Определение: Углом между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки.
Угол между противоположно направленными векторами равен 1800, а между сонаправленными — 00.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.
,
отсюда
Если
Например. Найти если
Ответ:
4.Разложение векторов
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если отложить векторы , и от одной точки, то все они будут лежать в одной плоскости, поэтому они компланарные.
Три некомпланарных вектора называют ортами (единичными координатными векторами).
Пусть вектор , тогда
Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам
IV Закрепление нового материала
План закрепления материала
1. Вопросы на закрепление материала
2. Решение задач
3. Кроссворд
4. Тестовые задания
Вопросы на закрепление материала
1. Что называется вектором?
Как изображаются векторные величины?
2. Определите координаты вектора , где А-начало, а В-конец?
3. Как вычислить длину вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направлениях?
5. Сформулируйте определение суммы и разности векторов?
6. Что называется скалярным произведением векторов?
7. Сформулируйте определение угла между прямыми?
8. Какие действия можно производить над векторами?
9. Сформулируйте определение коллинеарных, компланарных векторов?
Что значит разложить вектор?
10. Какие вектора называются противоположными?
Решение задач.
№186. Найдите координаты вектора , если А (2;4;3) и В (3;7;6)
Решение:
№187. Найдите координаты начала направленного отрезка , соответствующего вектору , если его конец .
Решение:
Пусть координаты точки С(x, y, z)-?
По условию , поэтому
Следовательно получаем
Значит точка С(6; -4; -3)
№ 191. Найдите координаты вектора
Решение:
№194. Найдите сумму векторов , ,
Решение:
№195. Найдите сумму векторов:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
№196. АВСD-тетраэдр. Чему равна сумма ?
Решение:
№ 199. Найдите разность векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
№200. Умножьте вектор на число 0
Решение:
№ 211. Найти скалярное произведение векторов
1) 2)
Решение:
В ходе решения задач некоторые учащиеся работают по карточкам
Карточка №1
Дано Найти
Карточка №2
Дано: Найти
Карточка №3
Дано: А (1; 1; 0), В (4; 5; 3). Найти
Карточка №4
Дано: Найти ,
Карточка №5
Дано:
Найти c1, c2
Карточка №6
Дано: А(3; 6; 7) В (3; 7; 8). Найти 3
Карточка №7
Чему равна сумма векторов АВ+ВС+СД+ДК
Карточка №8
Дано: Найти АВ+СВ
Кроссворд на тему
п р о т и В о п о л о ж н ы й
Е д и н и ч н ы й
с
К а л я р н о е
к о о р д и н а Т а
о р т О г о н а л ь н о е
н а п Р а в л е н н ы й
1. Вектор (-а) называется ……………………………………..
2. Вектор, длина которого равна единице………..
3. Произведение двух векторов ……………………
4. Число, определяющее положение вектора …………………
5. Прямоугольное проектирование- это …………………проектирование
6. Вектором называется ……………………….отрезок
Тестовые задания на составление слова.
1.Чему равно
К) (1;-1;-5) Л) (1; 1; 5) М) (-1;1; 5) Н) (1; -1; 5) О) (-1;-1;-5)
2. Чему равно
М) (4; 5; 1) Н) (4; 6; 2) О) (4; 6; -2) П) (4; 5; -1) Р) (4; -6; 2)
3.М(4; -5; 2), К (2; -2; 1). Найти
Н) О) П) Р) С) 2
4.Дано .Найти
О) 17 П) 40 Р) -17 С) -27 Т)10
5.Найдите сумму векторов
А) (6;6;0) Б) (-2;5;6) В) (8;5;6) Г) (6;4;6) Д) (6;6;6)
6.Найдите разность векторов
И) (3; 2; 2) К) (3; 1; 1) Л) (11; 4; 6) М) (11; 2; 6) Н) (-3; 2; 2)
7. Разложить по ортам вектор
К) Л) М) Н) О)
8. Найти
А) (1;1;-11) Б) (-1;1;11) В) (-1;-1;-11) Г) (1;11;1) Д) (1;1;11)
9.Найти угол между векторами
П) Р ) С) Т) У)
10.Найти
А) 49 В) 7 С) -7 Д) 5 Е) 11
Получаем слово «Координата»
V Подведение итогов занятия
Проведем рефлексию
Сегодня на уроке я узнал (а)……………………
Сегодня на уроке я научился (лась)……………
Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….
Сегодня на уроке я применял (а)……………….
-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.
VI Задание на дом
В ходе работы разъяснить учащимся цель выполнения домашнего задания, раскрыть содержание задач, наметить наиболее рациональные пути их решения.
-Конспект изучить § 24 стр 62
-Решить задачу
№189. Найдите длины векторов
Решение:
№190. Длины векторов равны. Найдите х.
Решение:
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Время занятия: 90 мин
Место проведения: аудитория
Внутрипредметная связь: Планиметрия
Межпредметная связь: черчение, физика.
Оснащение занятия: раздаточный материал, презентации по теме, тестовые задания по математике, формулы.
Использованная литература: Ж. Кайдасов, В. Гусев, А. Кагазбаева. Геометрия 10 кл
Учащийся должен знать: определение вектора, координаты вектора, действия производимые над векторами, разложение вектора по координатным осям.
Учащийся должен уметь: решать задачи на вектора.
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания - 17мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 25 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 3 мин
Ход занятия
I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Сколько координат имеет точка в пространстве. (3)
2. Как найти координаты точки в пространстве.
(Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки- нули )
3. Дайте определение параллельного переноса
(параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,b,c- постоянные)
Письменный опрос
1.Запишите формулу расстояния между между двумя точками через координаты этих точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
( ,
чтобы найти расстояние между двумя точками надо от координат конца отнять координаты начала )
2.Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
( где (x,y,z)- координаты середины отрезка )
Проверка домашнего задания проводится путем решения задач у доски
- Выполните задание №176, стр 58, §21
№176. Найдите расстояния от точки (2;-2;3) до :
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат;
Решение: Обозначим данную точку через А (2;-2;3), тогда
1)Рассмотрим координатные плоскости
xy В (2;-2;0) тогда
xz С (2;0;3) тогда
yz D (0;-2;3) тогда
2)Рассмотрим координатные оси
Ось х М (2;0;0) тогда
Ось y N (0;-2;0) тогда
Ось z K (0;0;3) тогда
3) Рассмотрим начало координат О (0;0;0)
III Объяснение нового материала
План изложения материала
Историческая справка.
1. Векторы в пространстве
2. Действия над векторами
3. Скалярное произведение векторов
4. Разложение векторов
1. Векторы в пространстве
В пространстве вектором называется направленный отрезок. Как и на плоскости в пространстве определяются такие основные понятия : абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. В стереометрии для вектора указывают три координаты: А (x,y,z).
z
у
Определение: Координатами вектора , начало которого точка а конец –точка , называются числа
.
Такой вектор записывают , указывая его координаты
B
A
Например. А(4;0;3) и В (0;6;4)- начало и конец вектора
Тогда
Рассмотрим вектор , тогда его длина вычисляется по формуле:
или
Длина нулевого вектора равна нулю:
Длина единичного вектора равна единице:
Два вектора ,лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены .
Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
2. Действия над векторами
Определение. Суммой векторов называется вектор с координатами
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника и правилом параллелограмма, которое широко применяется в физике.
В
А
С
B C
А D
B C
A D
Определение: Два вектора , сумма которых равна нулевому вектору , называют противоположными.
Например:
Определение: Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение: Произведением вектора на число k называется вектор
3. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов
Называется число
Таким образом
Определение: Углом между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки.
Угол между противоположно направленными векторами равен 1800, а между сонаправленными — 00.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.
,
отсюда
Если
Например. Найти если
Ответ:
4.Разложение векторов
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если отложить векторы , и от одной точки, то все они будут лежать в одной плоскости, поэтому они компланарные.
Три некомпланарных вектора называют ортами (единичными координатными векторами).
Пусть вектор , тогда
Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам
IV Закрепление нового материала
План закрепления материала
1. Вопросы на закрепление материала
2. Решение задач
3. Кроссворд
4. Тестовые задания
Вопросы на закрепление материала
1. Что называется вектором?
Как изображаются векторные величины?
2. Определите координаты вектора , где А-начало, а В-конец?
3. Как вычислить длину вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направлениях?
5. Сформулируйте определение суммы и разности векторов?
6. Что называется скалярным произведением векторов?
7. Сформулируйте определение угла между прямыми?
8. Какие действия можно производить над векторами?
9. Сформулируйте определение коллинеарных, компланарных векторов?
Что значит разложить вектор?
10. Какие вектора называются противоположными?
Решение задач.
№186. Найдите координаты вектора , если А (2;4;3) и В (3;7;6)
Решение:
№187. Найдите координаты начала направленного отрезка , соответствующего вектору , если его конец .
Решение:
Пусть координаты точки С(x, y, z)-?
По условию , поэтому
Следовательно получаем
Значит точка С(6; -4; -3)
№ 191. Найдите координаты вектора
Решение:
№194. Найдите сумму векторов , ,
Решение:
№195. Найдите сумму векторов:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
№196. АВСD-тетраэдр. Чему равна сумма ?
Решение:
№ 199. Найдите разность векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
№200. Умножьте вектор на число 0
Решение:
№ 211. Найти скалярное произведение векторов
1) 2)
Решение:
В ходе решения задач некоторые учащиеся работают по карточкам
Карточка №1
Дано Найти
Карточка №2
Дано: Найти
Карточка №3
Дано: А (1; 1; 0), В (4; 5; 3). Найти
Карточка №4
Дано: Найти ,
Карточка №5
Дано:
Найти c1, c2
Карточка №6
Дано: А(3; 6; 7) В (3; 7; 8). Найти 3
Карточка №7
Чему равна сумма векторов АВ+ВС+СД+ДК
Карточка №8
Дано: Найти АВ+СВ
Кроссворд на тему
п р о т и В о п о л о ж н ы й
Е д и н и ч н ы й
с
К а л я р н о е
к о о р д и н а Т а
о р т О г о н а л ь н о е
н а п Р а в л е н н ы й
1. Вектор (-а) называется ……………………………………..
2. Вектор, длина которого равна единице………..
3. Произведение двух векторов ……………………
4. Число, определяющее положение вектора …………………
5. Прямоугольное проектирование- это …………………проектирование
6. Вектором называется ……………………….отрезок
Тестовые задания на составление слова.
1.Чему равно
К) (1;-1;-5) Л) (1; 1; 5) М) (-1;1; 5) Н) (1; -1; 5) О) (-1;-1;-5)
2. Чему равно
М) (4; 5; 1) Н) (4; 6; 2) О) (4; 6; -2) П) (4; 5; -1) Р) (4; -6; 2)
3.М(4; -5; 2), К (2; -2; 1). Найти
Н) О) П) Р) С) 2
4.Дано .Найти
О) 17 П) 40 Р) -17 С) -27 Т)10
5.Найдите сумму векторов
А) (6;6;0) Б) (-2;5;6) В) (8;5;6) Г) (6;4;6) Д) (6;6;6)
6.Найдите разность векторов
И) (3; 2; 2) К) (3; 1; 1) Л) (11; 4; 6) М) (11; 2; 6) Н) (-3; 2; 2)
7. Разложить по ортам вектор
К) Л) М) Н) О)
8. Найти
А) (1;1;-11) Б) (-1;1;11) В) (-1;-1;-11) Г) (1;11;1) Д) (1;1;11)
9.Найти угол между векторами
П) Р ) С) Т) У)
10.Найти
А) 49 В) 7 С) -7 Д) 5 Е) 11
Получаем слово «Координата»
V Подведение итогов занятия
Проведем рефлексию
Сегодня на уроке я узнал (а)……………………
Сегодня на уроке я научился (лась)……………
Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….
Сегодня на уроке я применял (а)……………….
-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.
VI Задание на дом
В ходе работы разъяснить учащимся цель выполнения домашнего задания, раскрыть содержание задач, наметить наиболее рациональные пути их решения.
-Конспект изучить § 24 стр 62
-Решить задачу
№189. Найдите длины векторов
Решение:
№190. Длины векторов равны. Найдите х.
Решение:
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Время занятия: 90 мин
Место проведения: аудитория
Внутрипредметная связь: Планиметрия
Межпредметная связь: черчение, физика.
Оснащение занятия: раздаточный материал, презентации по теме, тестовые задания по математике, формулы.
Использованная литература: Ж. Кайдасов, В. Гусев, А. Кагазбаева. Геометрия 10 кл
Учащийся должен знать: определение вектора, координаты вектора, действия производимые над векторами, разложение вектора по координатным осям.
Учащийся должен уметь: решать задачи на вектора.
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания - 17мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 25 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 3 мин
Ход занятия
I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Сколько координат имеет точка в пространстве. (3)
2. Как найти координаты точки в пространстве.
(Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки- нули )
3. Дайте определение параллельного переноса
(параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,b,c- постоянные)
Письменный опрос
1.Запишите формулу расстояния между между двумя точками через координаты этих точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
( ,
чтобы найти расстояние между двумя точками надо от координат конца отнять координаты начала )
2.Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
( где (x,y,z)- координаты середины отрезка )
Проверка домашнего задания проводится путем решения задач у доски
- Выполните задание №176, стр 58, §21
№176. Найдите расстояния от точки (2;-2;3) до :
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат;
Решение: Обозначим данную точку через А (2;-2;3), тогда
1)Рассмотрим координатные плоскости
xy В (2;-2;0) тогда
xz С (2;0;3) тогда
yz D (0;-2;3) тогда
2)Рассмотрим координатные оси
Ось х М (2;0;0) тогда
Ось y N (0;-2;0) тогда
Ось z K (0;0;3) тогда
3) Рассмотрим начало координат О (0;0;0)
III Объяснение нового материала
План изложения материала
Историческая справка.
1. Векторы в пространстве
2. Действия над векторами
3. Скалярное произведение векторов
4. Разложение векторов
1. Векторы в пространстве
В пространстве вектором называется направленный отрезок. Как и на плоскости в пространстве определяются такие основные понятия : абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. В стереометрии для вектора указывают три координаты: А (x,y,z).
z
у
Определение: Координатами вектора , начало которого точка а конец –точка , называются числа
.
Такой вектор записывают , указывая его координаты
B
A
Например. А(4;0;3) и В (0;6;4)- начало и конец вектора
Тогда
Рассмотрим вектор , тогда его длина вычисляется по формуле:
или
Длина нулевого вектора равна нулю:
Длина единичного вектора равна единице:
Два вектора ,лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены .
Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
2. Действия над векторами
Определение. Суммой векторов называется вектор с координатами
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника и правилом параллелограмма, которое широко применяется в физике.
В
А
С
B C
А D
B C
A D
Определение: Два вектора , сумма которых равна нулевому вектору , называют противоположными.
Например:
Определение: Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение: Произведением вектора на число k называется вектор
3. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов
Называется число
Таким образом
Определение: Углом между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки.
Угол между противоположно направленными векторами равен 1800, а между сонаправленными — 00.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.
,
отсюда
Если
Например. Найти если
Ответ:
4.Разложение векторов
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если отложить векторы , и от одной точки, то все они будут лежать в одной плоскости, поэтому они компланарные.
Три некомпланарных вектора называют ортами (единичными координатными векторами).
Пусть вектор , тогда
Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам
IV Закрепление нового материала
План закрепления материала
1. Вопросы на закрепление материала
2. Решение задач
3. Кроссворд
4. Тестовые задания
Вопросы на закрепление материала
1. Что называется вектором?
Как изображаются векторные величины?
2. Определите координаты вектора , где А-начало, а В-конец?
3. Как вычислить длину вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направлениях?
5. Сформулируйте определение суммы и разности векторов?
6. Что называется скалярным произведением векторов?
7. Сформулируйте определение угла между прямыми?
8. Какие действия можно производить над векторами?
9. Сформулируйте определение коллинеарных, компланарных векторов?
Что значит разложить вектор?
10. Какие вектора называются противоположными?
Решение задач.
№186. Найдите координаты вектора , если А (2;4;3) и В (3;7;6)
Решение:
№187. Найдите координаты начала направленного отрезка , соответствующего вектору , если его конец .
Решение:
Пусть координаты точки С(x, y, z)-?
По условию , поэтому
Следовательно получаем
Значит точка С(6; -4; -3)
№ 191. Найдите координаты вектора
Решение:
№194. Найдите сумму векторов , ,
Решение:
№195. Найдите сумму векторов:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
№196. АВСD-тетраэдр. Чему равна сумма ?
Решение:
№ 199. Найдите разность векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
№200. Умножьте вектор на число 0
Решение:
№ 211. Найти скалярное произведение векторов
1) 2)
Решение:
В ходе решения задач некоторые учащиеся работают по карточкам
Карточка №1
Дано Найти
Карточка №2
Дано: Найти
Карточка №3
Дано: А (1; 1; 0), В (4; 5; 3). Найти
Карточка №4
Дано: Найти ,
Карточка №5
Дано:
Найти c1, c2
Карточка №6
Дано: А(3; 6; 7) В (3; 7; 8). Найти 3
Карточка №7
Чему равна сумма векторов АВ+ВС+СД+ДК
Карточка №8
Дано: Найти АВ+СВ
Кроссворд на тему
п р о т и В о п о л о ж н ы й
Е д и н и ч н ы й
с
К а л я р н о е
к о о р д и н а Т а
о р т О г о н а л ь н о е
н а п Р а в л е н н ы й
1. Вектор (-а) называется ……………………………………..
2. Вектор, длина которого равна единице………..
3. Произведение двух векторов ……………………
4. Число, определяющее положение вектора …………………
5. Прямоугольное проектирование- это …………………проектирование
6. Вектором называется ……………………….отрезок
Тестовые задания на составление слова.
1.Чему равно
К) (1;-1;-5) Л) (1; 1; 5) М) (-1;1; 5) Н) (1; -1; 5) О) (-1;-1;-5)
2. Чему равно
М) (4; 5; 1) Н) (4; 6; 2) О) (4; 6; -2) П) (4; 5; -1) Р) (4; -6; 2)
3.М(4; -5; 2), К (2; -2; 1). Найти
Н) О) П) Р) С) 2
4.Дано .Найти
О) 17 П) 40 Р) -17 С) -27 Т)10
5.Найдите сумму векторов
А) (6;6;0) Б) (-2;5;6) В) (8;5;6) Г) (6;4;6) Д) (6;6;6)
6.Найдите разность векторов
И) (3; 2; 2) К) (3; 1; 1) Л) (11; 4; 6) М) (11; 2; 6) Н) (-3; 2; 2)
7. Разложить по ортам вектор
К) Л) М) Н) О)
8. Найти
А) (1;1;-11) Б) (-1;1;11) В) (-1;-1;-11) Г) (1;11;1) Д) (1;1;11)
9.Найти угол между векторами
П) Р ) С) Т) У)
10.Найти
А) 49 В) 7 С) -7 Д) 5 Е) 11
Получаем слово «Координата»
V Подведение итогов занятия
Проведем рефлексию
Сегодня на уроке я узнал (а)……………………
Сегодня на уроке я научился (лась)……………
Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….
Сегодня на уроке я применял (а)……………….
-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.
VI Задание на дом
В ходе работы разъяснить учащимся цель выполнения домашнего задания, раскрыть содержание задач, наметить наиболее рациональные пути их решения.
-Конспект изучить § 24 стр 62
-Решить задачу
№189. Найдите длины векторов
Решение:
№190. Длины векторов равны. Найдите х.
Решение:
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Межпредметная связь: черчение, физика.
Оснащение занятия: раздаточный материал, презентации по теме, тестовые задания по математике, формулы.
Учащийся должен знать: определение вектора, координаты вектора, действия производимые над векторами, разложение вектора по координатным осям.
Учащийся должен уметь: решать задачи на вектора.
Структурно-логическая схема и хронокарта занятия
I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания - 17мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 25 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 3 мин
Ход занятия
I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Сколько координат имеет точка в пространстве. (3)
2. Как найти координаты точки в пространстве.
(Если точка лежит в какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю, а если на оси координат, то две координаты такой точки- нули )
3. Дайте определение параллельного переноса
(параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у,z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,b,c- постоянные)
Письменный опрос
1.Запишите формулу расстояния между между двумя точками через координаты этих точек. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
( ,
чтобы найти расстояние между двумя точками надо от координат конца отнять координаты начала )
2.Какими формулами определяются координаты середины отрезка?
( где (x,y,z)- координаты середины отрезка )
Проверка домашнего задания проводится путем решения задач у доски
- Выполните задание №176, стр 58, §21
№176. Найдите расстояния от точки (2;-2;3) до :
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат;
Решение: Обозначим данную точку через А (2;-2;3), тогда
1)Рассмотрим координатные плоскости
xy В (2;-2;0) тогда
xz С (2;0;3) тогда
yz D (0;-2;3) тогда
2)Рассмотрим координатные оси
Ось х М (2;0;0) тогда
Ось y N (0;-2;0) тогда
Ось z K (0;0;3) тогда
3) Рассмотрим начало координат О (0;0;0)
III Объяснение нового материала
План изложения материала
Историческая справка.
1. Векторы в пространстве
2. Действия над векторами
3. Скалярное произведение векторов
4. Разложение векторов
1. Векторы в пространстве
В пространстве вектором называется направленный отрезок. Как и на плоскости в пространстве определяются такие основные понятия : абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. В стереометрии для вектора указывают три координаты: А (x,y,z).
z
у
Определение: Координатами вектора , начало которого точка а конец –точка , называются числа
.
Такой вектор записывают , указывая его координаты
B
A
Например. А(4;0;3) и В (0;6;4)- начало и конец вектора
Тогда
Рассмотрим вектор , тогда его длина вычисляется по формуле:
или
Длина нулевого вектора равна нулю:
Длина единичного вектора равна единице:
Два вектора ,лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены .
Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
2. Действия над векторами
Определение. Суммой векторов называется вектор с координатами
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника и правилом параллелограмма, которое широко применяется в физике.
В
А
С
B C
А D
B C
A D
Определение: Два вектора , сумма которых равна нулевому вектору , называют противоположными.
Например:
Определение: Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение: Произведением вектора на число k называется вектор
3. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов
Называется число
Таким образом
Определение: Углом между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки.
Угол между противоположно направленными векторами равен 1800, а между сонаправленными — 00.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.
,
отсюда
Если
Например. Найти если
Ответ:
4.Разложение векторов
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если отложить векторы , и от одной точки, то все они будут лежать в одной плоскости, поэтому они компланарные.
Три некомпланарных вектора называют ортами (единичными координатными векторами).
Пусть вектор , тогда
Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам
IV Закрепление нового материала
План закрепления материала
1. Вопросы на закрепление материала
2. Решение задач
3. Кроссворд
4. Тестовые задания
Вопросы на закрепление материала
1. Что называется вектором?
Как изображаются векторные величины?
2. Определите координаты вектора , где А-начало, а В-конец?
3. Как вычислить длину вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направлениях?
5. Сформулируйте определение суммы и разности векторов?
6. Что называется скалярным произведением векторов?
7. Сформулируйте определение угла между прямыми?
8. Какие действия можно производить над векторами?
9. Сформулируйте определение коллинеарных, компланарных векторов?
Что значит разложить вектор?
10. Какие вектора называются противоположными?
Решение задач.
№186. Найдите координаты вектора , если А (2;4;3) и В (3;7;6)
Решение:
№187. Найдите координаты начала направленного отрезка , соответствующего вектору , если его конец .
Решение:
Пусть координаты точки С(x, y, z)-?
По условию , поэтому
Следовательно получаем
Значит точка С(6; -4; -3)
№ 191. Найдите координаты вектора
Решение:
№194. Найдите сумму векторов , ,
Решение:
№195. Найдите сумму векторов:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
№196. АВСD-тетраэдр. Чему равна сумма ?
Решение:
№ 199. Найдите разность векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
№200. Умножьте вектор на число 0
Решение:
№ 211. Найти скалярное произведение векторов
1) 2)
Решение:
В ходе решения задач некоторые учащиеся работают по карточкам
Карточка №1
Дано Найти
Карточка №2
Дано: Найти
Карточка №3
Дано: А (1; 1; 0), В (4; 5; 3). Найти
Карточка №4
Дано: Найти ,
Карточка №5
Дано:
Найти c1, c2
Карточка №6
Дано: А(3; 6; 7) В (3; 7; 8). Найти 3
Карточка №7
Чему равна сумма векторов АВ+ВС+СД+ДК
Карточка №8
Дано: Найти АВ+СВ
Кроссворд на тему
п р о т и В о п о л о ж н ы й
Е д и н и ч н ы й
с
К а л я р н о е
к о о р д и н а Т а
о р т О г о н а л ь н о е
н а п Р а в л е н н ы й
1. Вектор (-а) называется ……………………………………..
2. Вектор, длина которого равна единице………..
3. Произведение двух векторов ……………………
4. Число, определяющее положение вектора …………………
5. Прямоугольное проектирование- это …………………проектирование
6. Вектором называется ……………………….отрезок
Тестовые задания на составление слова.
1.Чему равно
К) (1;-1;-5) Л) (1; 1; 5) М) (-1;1; 5) Н) (1; -1; 5) О) (-1;-1;-5)
2. Чему равно
М) (4; 5; 1) Н) (4; 6; 2) О) (4; 6; -2) П) (4; 5; -1) Р) (4; -6; 2)
3.М(4; -5; 2), К (2; -2; 1). Найти
Н) О) П) Р) С) 2
4.Дано .Найти
О) 17 П) 40 Р) -17 С) -27 Т)10
5.Найдите сумму векторов
А) (6;6;0) Б) (-2;5;6) В) (8;5;6) Г) (6;4;6) Д) (6;6;6)
6.Найдите разность векторов
И) (3; 2; 2) К) (3; 1; 1) Л) (11; 4; 6) М) (11; 2; 6) Н) (-3; 2; 2)
7. Разложить по ортам вектор
К) Л) М) Н) О)
8. Найти
А) (1;1;-11) Б) (-1;1;11) В) (-1;-1;-11) Г) (1;11;1) Д) (1;1;11)
9.Найти угол между векторами
П) Р ) С) Т) У)
10.Найти
А) 49 В) 7 С) -7 Д) 5 Е) 11
Получаем слово «Координата»
V Подведение итогов занятия
Проведем рефлексию
Сегодня на уроке я узнал (а)……………………
Сегодня на уроке я научился (лась)……………
Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….
Сегодня на уроке я применял (а)……………….
-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.
VI Задание на дом
В ходе работы разъяснить учащимся цель выполнения домашнего задания, раскрыть содержание задач, наметить наиболее рациональные пути их решения.
-Конспект изучить § 24 стр 62
-Решить задачу
№189. Найдите длины векторов
Решение:
№190. Длины векторов равны. Найдите х.
Решение:
