Тема урока :Свойства прогрессии.
Цель урока:
1) обобщить знания, навыки и умения по теме « Прогрессия »;
2) доказать и научить применять характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий;
3) вырабатывать навыки самостоятельного творческого мышления.
Оборудование : вопросы семинара на плакате; задания - карточки для различных групп учащихся.
Ход урока.
№1. Найдите неизвестные члены конечной арифметической прогрессии (а n)
6 10 14
а1 ; 8; а3 ; 12; а15 . 12=8+2d, 2d=4, d=2, то
а1 = 8-2=6; а3 =8+2=10;
а5 = 12+2=14
Вопрос: А какая связь есть между членами арифметической прогрессии. Как можно проще найти а3 , а1 , а5 .
Ответ: 8+12 10+14 6+10
10= 2 12= 2 8= 2 т.е.
а n-1 + а n + 1
а n = 2
Прошу желающих доказать (вызов ученика к доске ).
а n-1 + а n + 1 а n - d + а n + d 2 а n
2 = 2 = 2 = а n.
Свойство А 1 : В арифметической прогрессии любой член есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.
Пример : №1. Найдите неизвестные члены арифметической прогрессии (хn) :
3 -1 -5 -6
х1 , 1 , х2 , -3 , х5 , х6.
№2. В арифметической прогрессии (а n):
а1 = -7 ; а10 = 15
Найдите S10 (40).
№3. В арифметической прогрессии ( а n)
а3 = 14; а8 = -5.
Найдите S10.
а1 + а10
Решение : 1) S10= 2 * 10 = (а1 + а10 )* 5
2) а1 + а10 = а1 + а1 + 9d = 2 а1 + 9d ?
а3 = а1 + 2d
3) а8 = а1 +7d
а3+а8 = 2а1+9d
2а1 + 9d = 14+(-5) = 9
S10 = 9*5 = 45.
Ответ: 45.
Вопрос: Что особенного в этих суммах?
Почему а1 + а10 = а3 + а8. Это случайность или закономерность.
Свойство А 2 :
|
Дано:( а n)–арифметическая прог-рессия m + n = p + d Доказать аm + an = ap+ аg |
Доказательство: 1) аm + an= а1+(m-1)d + а1+ (n-1)d = 2а1 + (m+n)d -2d; 2) ap+ аg = а1+(p-1)d+ а1+(g-1)d= 2 а1+ (p+g)d — 2d. |
Вывод : если суммы номеров двух членов арифметической прогрессии равны, то суммы этих членов равны.
№4
|
Дано:( а n)–арифметическая прог-рессия а6 + а9 + а12 + а15 = 20 Найти: S20. |
а1+а20 1) S20= 9 * 20 =( а1+ а20)*10 20 2) а1+ а20= а6+ а15 = а9+ а12 = 2 = 10. 3) S20= 10 * 10 = 100 Ответ: S20=100. |
№5 В геометрической конечной возрастающей прогрессии (вn). Найдите неизвестные члены :
в, 9, в3 , 81 , в5 . 81= 9*g² ,но (вn), g²=9, 9= ±3; то g=3
3 27 243
и в1 = 9:3=3 ; в3 = 9*3= 27;
в5 =81*3=243
Вопрос: А как по другому найти в3, зная предыдущий член 9 и последующий 81 ?
Ответ : в3 = 9*81 = 3*9 = 27
|
Дано:( вn)–геометрическая прог-рессия Доказать вn² = вn-1* вn+1или (вn) = вn-1 * вn+1 это есть среднее геометрическое . |
вn вn-1* вn+1 = g * вn*g = вn²=> | вn| = вn-1* вn+1 |
Свойство Г 1 :
Вывод : модуль любого члена геометрической прогрессии есть среднее геометрическое предыдущего и последующего членов прогрессии.
№6
|
Дано:( вn)–геометрическая прог-рессия в7* в13 = 36 Найдите :1) в10 2) в8 , если в12 |
а) в7* в13= в1² * g в10 = в1 g в10²= в1² * g=> в10²= в7* в13=> в10= 36 или 610= -6. б) в8 = в1*g в12= в1*g => в8* в12(в1)² * g 36 ,т.е. в8* в12= 36=> в8= в12 => 36 в8= 9 = 4. |
Ответ: а) в10=6 в10= -6; б) в8= 4.
В задаче оказалось в10* в10= в7* в13= в8* в12
Свойство Г 2 :
|
Дано:( вn)–геометрическая прог-рессия m+n = p+k Доказать вm* вn= вp*вk |
1) вmвn=в1*g : в1*g = в1²*g 2) вp вk= в1*g * в1*g = в1²*g вm* вn= вp *вk |
Итог урока :
|
1) Любой член прогрессии есть среднее |
|
|
Арифметическое в арифметичес-кой прогрессии а n-1 + а n+1 а n = 2 |
Геометрическое в геометричес-кой прогрессии вn = вn-1* вn+1 |
|
2) Если сумма номеров двух членов равны, то |
|
|
Суммы этих членов равны в арифметической прогрессии |
Произведение этих членов равны в геометрической прогрессии |
|
Если m + n = p + k, то |
|
|
аm + an = ap+ аk |
вm* вn= вp*вk |
Задание на дом:
№7 ( вn)–геометрическая прогрессия
2
в5 = 2 3 , в9= 3
Найти в7.
№8 ( а n)–арифметическая прогрессия
а4 + а7 = 24
а5 = 3
Найти : а) а6; б) S11 .
№9 В арифметической прогрессии (а n)
а5 + а12 = 16
Найти S16.
