Россия,Ставропольский край,Советский район,с. Солдато-Александровское
МОУ "СОШ № 10
Учитель математики
Кобзев Дмитрий Александрович
Актуальность опыта
Глобальные социально-экономические преобразования в нашей стране выявили потребность в людях творческих, активных, неординарно мыслящих, способных нестандартно решать поставленные задачи на основе критического анализа ситуации формулировать новые перспективные идеи.
Проблема раннего выявления, обучения и воспитания одаренных детей — приоритетная в современном образовании. От решения ее в итоге зависит интеллектуальный и экономический потенциал государства. Это положение осознается во всем мире, создан Всемирный совет по таланту и одаренности детей, в состав которого вошли около 80 стран.
Федеральная целевая программа “Одаренные дети” ставит своей целью развитие интеллектуальных ресурсов общества, повышение социального статуса творческой личности, воспитание одаренного ребенка как гражданина своей страны, ответственного за ее судьбу.
Таким образом, проблема творческой самореализации личности одаренных детей в условиях развития современной школы приобретает доминирующее значение. Ориентация на формирование самосозидающей личности одаренного ребенка, способного к самоопределению и свободному развитию побуждает учителя к постоянному выявлению и созданию психолого-педагогических условий, необходимых для полного раскрытия творческого потенциала одаренных детей.
Мозг человека с его способностью к творчеству, безусловно, может рассматриваться как величайший дар природы, и в этом смысле “одаренность” предстает перед нами уже не как исключительность, а как “потенциал”, “дар”, имеющийся у каждого. Это утверждают ученые РАО Н.С. Лейтес, А.М. Матюшкин, А.И. Савенков.
И в этом смысле работа с одаренными детьми интересна как фундамент для дальнейшей разработки целей, принципов, содержания, форм и методов обучения всех детей.
Как показывает анализ литературы и личный практический опыт преподавания, одним из возможных способов решения задачи насыщения образовательной среды условиями, способствующими творческой самореализации одаренных детей, является индивидуализация и дифференциация учебно-воспитательного процесса. Эта проблема становится особенно актуальной в рамках подготовки к профилизации старшей школы, которая предусматривает создание условий “для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ”. Наряду с этим, в массовой педагогической практике является очевидным противоречие между книжным обучением и стремлением одаренных детей проявлять индивидуальность. Отсюда задача — сочетание урочной и внеклассной творческой деятельности, направленной на развитие индивидуальных способностей одаренных детей.
Перспективность опыта объясняется его практической значимостью для повышения творческой самореализации одаренных детей в учебно-познавательной деятельности, для развития и реализации их потенциальных возможностей. Опыт содержит рекомендации по выявлению, обучению и воспитанию одаренных детей.
Новизна опыта состоит в диагностике выявления одаренных детей, в разработке системы работы по развитию познавательного интереса к формированию творческой активности одаренных детей на основе принципов индивидуализации и дифференциации учебно-воспитательного процесса.
Трудоемкость опыта заключается в его переосмысливании с позиции творческой самореализации личности одаренного ребенка в учебно-познавательной деятельности, в отборе оптимальных методов и приемов, форм, средств организации учебно-воспитательной работы с учетом индивидуально-творческих возможностей одаренных детей.
Доступность опыта проявляется в том, что он может быть использован учителями общеобразовательных школ.
Ведущая педагогическая идея опыта заключается в использовании урочной и внеклассной работы по математике для развития познавательного интереса и формирования творческой активности одаренных детей.
Длительность работы над опытом.
Работа над опытом охватывает период с 2010 года по 2013 год .
Диапазон опыта.
Диапазон опыта представлен единой системой “урок - внеклассная работа”, что позволяет готовить одаренных детей к участию в олимпиадах и конкурсах по математике.
Теоретическая база опыта.
В отечественных исследованиях не существует единой точки зрения на проблему одаренности.
Чтобы познакомиться с различными точками, разрабатываемыми в науке, характеристикой одаренности, проявляющейся в различных видах деятельности, и формировать некоторые умения, позволяющие грамотно осуществлять диагностику математических способностей, а, следовательно, и выбирать различные формы работы с одаренными детьми, я с увлечением стал открывать для себя отечественные и зарубежные исследования в области психологии, одаренности, изучать передовой отечественный опыт обучения одаренных детей.
Это труды А.И. Доровского, В.Д. Шадрикова, Б.М. Теплова, Н.С. Лейтеса, А.М. Матюшкина, А.И. Савенкова, В.А. Крутецкого, Р.А. Атаханова, Л.М. Фридмана, Дж. Рензулли.
Среди современных концепций одаренности мое внимание привлекла самая популярная. Она разработана одним из известных специалистов в области изучения одаренных детей — Дж. Рензулли. Согласно его теории, одаренность есть сочетание трех характеристик: интеллектуальных способностей (превышающий средний уровень), креативности и настойчивости. Кроме того, в его теоретической модели учтены знания (эрудиция) и благоприятная окружающая среда.
Эта концепция достаточно определенно указывает направления педагогической работы. Меня заинтересовала работа с тестовыми методиками, исследующими проявление математической одаренности, так как основной груз психодиагностической работы перенесен “на плечи учителя”.
Из всего спектра проблем обучения одаренных детей я выбрал для себя стратегическую линию — необходимо искать педагогические возможности для поддержания уровня и темпа развития одаренного ребенка, причем не важно, станет ли он затем выдающимся специалистом.
Технология применения в работе с одаренными детьми единой системы “урок — внеклассная работа” частично представлена в разработках (см. Приложение).
Уровень опыта по степени новизны в рационализации, усовершенствовании отдельных сторон педагогического труда.
Технология опыта
Постановка целей и задач педагогической деятельности
Целью педагогической деятельности является создание условий для максимально возможного развития интеллектуальных способностей одаренных детей в сочетании с интенсивным накоплением социального опыта и формированием уверенности в своих силах.
Задачи, способствующие достижению данной цели:
- постоянное стимулирование и развитие познавательного интереса обучающегося к предмету;
- активизация творческой деятельности одаренных детей;
- развитие способности и стремления к самообразованию;
- сотрудничество учителя и обучающегося в процессе обучения;
- обеспечение душевного здоровья и эмоционального благополучия одаренного ребенка.
На основе диалога и совместного поиска я стараюсь помочь одаренному ребенку выработать наиболее эффективную стратегию индивидуального развития, опираясь на развитие его способности к самоопределению и самоорганизации, состыковать индивидуальное своеобразие одаренного ребенка, особенности его образа жизни и различные варианты содержания образования.
Средства достижения цели.
Концептуальная установка современной школы на применение личностно-ориентированных технологий укрепляет мою уверенность в том, что обучение и воспитание одаренных детей должно осуществляться при ориентации на следующие дидактические принципы:
- индивидуализация и дифференциация обучения;
- принцип творчества и успеха;
- принцип доверия и поддержки;
- принцип вовлечения одаренных детей в жизнь их социального окружения.
Технологическая составляющая (методы и приемы обучения) должна, по моему мнению, соответствовать таким требованиям, как:
- диалогичность;
- деятельностно-творческий характер;
- направленность на поддержку индивидуального развития одаренного ребенка;
- предоставление ему необходимого пространства для принятия самостоятельных решений, творчества, выбора.
Применяю методы стимулирования обучения: создание ситуации успеха, стимулирование занимательным содержанием, учебная дискуссия, создание эмоциональных ситуаций. Методы развития психических функций, творческих способностей: творческой задание, постановка проблемы или создание проблемной ситуации, предоставление возможности на основе непосредственной учебной деятельности развернуть другую, более интересную — творческую. Однажды разрешив обучающимся найти “свой” способ решения, рассказать о нем и доказать его правильность, “включаю” механизм постоянного поиска у обучающихся. Теперь, решая любые задачи, обсуждая проблемы, обучающиеся будут искать другие способы решения, пытаться рассмотреть новые подходы и методы решения.
Методы организации учебной деятельности: решение задач, работа с книгой, лекция, самостоятельная работа.
Психологи утверждают, что попытка обучить одаренного ребенка только приемам самостоятельной работы на уроках недопустима. Наиболее часто применяемые мной методы организации взаимодействия его с другими обучающимися: метод взаимной проверки, метод совместного нахождения лучшего решения, временная работа в группе, организация работы в качестве консультанта, дискуссия.
Методы контроля: повседневные наблюдения, контрольные работы, зачеты.
Система работы, которая помогает мне выявить одаренных детей, интересующихся математикой, научить их творчески мыслить и углублять полученные знания включает:
- предварительную диагностику по выявлению одаренных детей (см. Приложение №1);
- обычный урок математики;
- многообразные формы внеклассной работы;
- индивидуальную работу с “подающим надежды” школьником;
- самостоятельную работу самого школьника;
- участие в олимпиадах;
- итоговую диагностику;
- коррекцию своей деятельности.
Работа с одаренными детьми требует от учителя определенных качеств: кропотливости в сфере повышения уровня собственного интеллекта, мобилизации духовных сил, способности стимулировать творческую активность обучающихся, умения направлять различные виды их творческой деятельности. Можно проверить свои возможности в этой области с помощью теста по определению склонности к работе с одаренными детьми. Он приведен в книге Доровского И.А. “Сто советов по развитию одаренных детей” (см. Приложение №2).
Организация учебно-воспитательного процесса.
Уже мыслители эпохи Возрождения обратили внимание на то, что моральная проповедь бессильна, если она не согласуется с реальными интересами человека. Как же возникает увлеченность математикой, как начинается активное развитие математически - творческих умов?
В поисках путей развития познавательного интереса я обратила внимание на то, что многие известные ученые не раз отмечали, что эстетический импульс нередко оказывал заметное влияние на ход их научных исследований. А освоение школьником математических методов не является творческим, исследовательским процессом? И работа учителя ведь тоже нескончаемые методические поиски и исследования! Значит, эстетический импульс способен возбуждать и методическую мысль учителя, и познавательный интерес школьника.
Интеллектуальный и эстетический заряд школьного курса математики, его впечатляемость значительно повышаются, когда на уроке, а также при других формах общения со школьниками к месту и в меру воспользуешься, например, стихотворной или художественно-прозаической цитатой, так сказать “репликой в сторону”, метафорой, изящной шуткой и остротой, занимательной задачей, игровыми элементами, ярким историческим сообщением.
При изучении темы “Первообразная и интеграл” (11 класс) историческое сообщение может раскрыть парадоксы в истории науки и кратко прозвучать так. В эпоху, когда никто не мог себе представить, что из пушек можно стрелять чем либо кроме круглых ядер, Ньютон, опираясь на изобретенные им мощные средства дифференциального и интегрального исчисления, предложил снаряд новой формы, опередив на 200 лет французского артиллериста Дизеле. Лишь в 1930-х годах на вооружение были приняты снаряды с удлиненной носовой частью и скошенной донной с плоской площадкой, которые используются по сей день. Ньютон предсказал также появление судов на подводных крыльях и на воздушной подушке. Увы, во время парусного флота эта идея не нашла развития. Можно привести и размышления Толстого Л.Н. о “дифференциале истории и искусстве интегрирования как средстве постижения ее законов”.
Урок геометрии в 11 классе по теме “Конус” можно начать с демонстрации одной из картин Шишкина (где изображены сосны) и задать вопрос: “Что общего между картиной и вот этим геометрическим телом (конусом)?” Оказывается, связь самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель называется конус, что в переводе с греческого означает “сосновая шишка”. Затем идет серьезное изучение соответствующих элементов, формул. Далее можно предложить послушать строки из трагедии Пушкина А.С. “Скупой рыцарь”:
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу и т.д.
Вопросы:
- Какой высоты может быть холм?
- Какого объема?
- Как далеко “царь мог с вершины с весельем озирать”?
Говоря о сечениях конуса, привожу отрывок из романа “Война и мир” Л.Н. Толстого, где речь идет о военном устройстве.
Начиная с 5 класса использую нетрадиционные формы урока, например, урок-путешествие на планету Миф (математика и фантазия), население которой составляют натуральные числа.
Математические лабиринты, эстафеты, рассчитанные на самостоятельное решение задач, выгодно отличаются от обычных форм самостоятельной работы (учет индивидуальных особенностей обучающихся, активизация мыслительной деятельности, развитие внимания, сообразительности, воспитание ответственности, взаимопомощи налицо) (см. Приложение №7).
Подготовка победителя олимпиады длительный процесс. Начинаю ее на уроках в 5-6 классе и осуществляю как на уроках, так и на внеурочных занятиях в последующих классах. Это и факультативные, и кружковые, и индивидуальные занятия, и элективные курсы.
Решение занимательных задач на уроках математики связано с формированием определенной гибкости мышления, умением и готовностью рассматривать нестандартные и проблемные математические ситуации. Поэтому я считаю, что подготовка обучающихся 5-6 классов к применению средств активизации познавательной активности в последующих классах обязательна. В первую очередь, это касается решения занимательных и нестандартных задач на уроках — вначале в порядке самостоятельной работы, затем в процессе коллективного обсуждения.
Например, задачи, решение которых знакомит с понятием графа. “В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?” Для наглядности изобразим каждого шахматиста точкой. Соединим каждую из семи точек отрезками прямой, любой из которых можно считать графическим изображением шахматной партии между каждой парой участников. Из одной точки выходит шесть отрезков. Действительно, при 7 игроках каждый играющий должен играть 6 партий с 6 оставшимися партнерами. Всего отрезков =42. Но партии вдвое меньше (поскольку одну партию играют двое участников). Таким образом, (партия).
Интерес к математике формируется не только с помощью математических игр и занимательных задач, разгадыванием головоломок, но и логической занимательностью самого математического материала: проблемным изложением, постановкой гипотез, рассмотрением различных путей решения проблемной ситуации, решением задач или доказательством теорем различными методами и другими приемами формирования познавательного интереса к математике.
Для воспитания творческой личности включаю в структуру умственной деятельности школьников эвристические приемы мыслительной деятельности, учу детей чувствовать свои творческие возможности. Это необходимо им для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых, необычных ситуациях. Поэтому на каждом уроке помимо цели изучить некоторый программный материал ставлю и как бы “сверхзадачу”: на базе изучаемого материала формировать у школьников приемы, которые они смогут использовать при самообразовании.
Например, навести учащихся на открытие того или иного математического факта посредством решения творческих задач — это значит предложить им последовательно выполнить такие идейно родственные задачи, которые вначале выступают как конкретизация и уточнение основной проблемы, а затем как поиск и составление общего способа ее решения.
Покажем действие принципа “наведения на открытие” на конкретной группе задач, которую мы условно назовем “Ключ к угадыванию цифры”.
Цель этого задания — ввести учащихся в проблему нахождения последней цифры степени и, в частности, показать, что существуют такие степени (в данном случае — девятая), которые оканчиваются той же цифрой, что и их основание. Данную группу задач можно рассматривать с семиклассниками на уроках алгебры по теме “Степень с натуральным показателем”.
2. Укажите среди чисел вида 4k-4 какие–нибудь три, кратные 10 (k — натуральное число).
В ходе выполнения этого задания обучающиеся должны заметить тот факт, что нечетные натуральные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4 , а четные — цифрой 6.
3. Найти последнюю цифру числа: а) 326; б) 2748; в) 50863.
Обычно обучающиеся предлагают разные способы решения этой задачи, но все они, как правило, сводятся к представлению данной степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями. Например: “Представим число 320 как произведение . Узнаем сначала последнюю цифру степени 35. Это 3. А теперь определим искомую цифру как последнюю цифру числа 34. Получим 1”. Этот ответ учащиеся сопровождают примерно такими записями:
3 3 3 3
34
1
Это задание содействует обострению потребности в поиске удобного, даже универсального, способа нахождения последней цифры степени.
4. Объясните, почему - целое число при любом натуральном n.
Эта задача обычно вызывает определенные трудности у семиклассников, так как для ее решения необходимо применить, по крайней мере, две эвристики:
а) догадаться, что число 26n всегда оканчивается (при натуральном n) на 6, а поэтому 26n-1 оканчивается на 5;
б) заметить, что при умножении 2,6 на целое число, оканчивающееся на 5, получается целое число.
В итоге решения задачи 4 в качестве устных дополнительных упражнений можно рекомендовать следующие:
Эти упражнения служат хорошей подготовкой к решению последующих заданий.
5. Верно ли, что при любом нечетном а число (100+а)5+1 всегда будет составным?
На этот вопрос семиклассники чаще всего дают утвердительный ответ, поскольку в качестве нечетных чисел они рассматривают лишь натуральные нечетные числа. Однако, осознав эту ошибку, учащиеся быстро находят оба варианта контрпримера: данное число не будет составным при а = -99 или а = -101.
6. Лист бумаги разрезали на 4 части. Затем каждый лист вновь разрезали на 4 части и т.д. Докажите, что после 26 таких разрезаний все полученные листы без одного можно разделить поровну на 5 групп.
Чтобы подвести учащихся к выводу формулы 426-1, выражающей количество листов бумаги в пяти группах, полезно процесс деления данного листа представить наглядно с помощью схематических рисунков. При этом рассуждения могут быть следующими: “После первого разрезания получим 4 листа, после второго разрезания из каждого листа получим еще по 4 листа, а значит, всего листов. После третьего разрезания - листов и т.д. После 26 разрезания получим 426 листов”.
Идея же доказательства утверждения: “Число 426-1 кратно 5” опирается на знание признака делимости на 5 и вывод задачи 2.
7. Докажите, что число 799+344+488 кратно 10.
Так как числа 799, 344, 488 оканчиваются соответственно на 3,1, и 6, а их сумма оканчивается на 3+1+6 = 0, то данное число 799+344+488 кратно 10. Что и требовалось доказать.
8. Верно ли утверждение:а) квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
б) куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
в) четвертая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр: 0,1,5,6;
г) пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число?
Цель этого задания — подготовить учащихся к выводу о том, что последние цифры в записи степеней целого числа периодически (с периодом 4) повторяются.
Для удобства записи решения целесообразно составить таблицу:
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
n2 |
1 |
4 |
9 |
6 |
5 |
6 |
9 |
4 |
1 |
0 |
|
n3 |
1 |
8 |
7 |
4 |
5 |
6 |
3 |
2 |
9 |
0 |
|
n4 |
1 |
6 |
1 |
6 |
5 |
6 |
1 |
6 |
1 |
0 |
|
n5 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
В первой строке этой таблицы написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей — кубы и т.д.
Заполнив пятую строку и сравнив полученные результаты с соответствующими цифрами первой строки, обучающиеся убеждаются, что пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень этого числа, т.е., само число. Следовательно, результаты в таблице будут повторяться через каждые четыре строчки.
9. Какими цифрами оканчиваются числа вида:
а) 74k+1; б) 84k+3, где k — натуральное число?
Несмотря на краткость, условие этой задачи воспринимается семиклассниками весьма трудно. Поэтому вначале приходится рассматривать конкретные примеры: при k = 1 число 74k+1=75оканчивается на1; при k=2 это число равно 79 и оканчивается на 1; при k=3 получаем число 713, которое также оканчивается на 1 и т.д.
Затем на основании неполной индукции учащиеся пытаются утверждать, что для всех остальных натуральных значений k число74k+1 всегда будет оканчиваться на 1. Однако четкого обоснования этому факту они дать не могут. И только напоминание о задача 5, где скоропалительный вывод мог привести к неверному ответу, заставляет ребят искать доказательство высказанной гипотезы.
Хотя в условии задачи есть явный намек на свойство периодичности последних цифр степеней натурального числа, многие учащиеся этого не замечают и проводят доказательство следующим образом: , так как 74 оканчивается на 1, значит 74k тоже будет оканчиваться на 1. Отсюда получаем, что число 74k+1 оканчивается на 7.
На данном этапе задача учителя состоит в том, чтобы помочь учащимся найти более экономный ход рассуждений, используя вывод, полученный в итоге решения задачи 8.
10. Какой цифрой оканчивается число:
а) 743; б) 12109?
Эта задача окажется для многих учащихся достаточно трудной. Поскольку показатели степеней — простые числа, то ребята затрудняются представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как это они делали раньше. Именно при решении этого номера учащиеся приходят к “открытию” способа определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
Обобщение найденного способа можно произвести посредством решения следующей задачи.
11. Существует ли способ, позволяющий определить последнюю цифру степени целого числа с натуральным показателем не более, чем за 3 шага (действия)?
В итоге работы над задачами этой группы учащиеся составляют алгоритм нахождения последней цифры степени целого числа, сформулированный примерно в следующем виде: “Чтобы найти последнюю цифру степени целого числа с натуральным показателем, надо:
1) найти остаток от деления показателя степени на 4;
2) если остаток равен
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;
б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре записи куба основания;
г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6».
Как показывает опыт, учащиеся достаточно быстро овладевают этим алгоритмом и успешно пользуются им при решении задач, где с той или иной целью требуется оценить последнюю цифру степени. Здесь важно подчеркнуть, что введение данного алгоритма в круг вопросов, рассматриваемых на уроке, позволяет существенно расширить и идейно обогатить традиционную подборку задач на применение определения степени с натуральным показателем и правил действий со степенями для курса алгебры VII класса. При этом “новые” задачи воплощают в себе сразу две дидактические цели: с одной стороны, они способствуют лучшему усвоению программного материала, а с другой, служат обучающимся наглядной демонстрацией прикладного значения “открытых” ими знаний. Особенно привлекают учащихся задания, содержащие степени с очень большими показателями, например: “Существуют ли натуральные числа х и у такие, что х1988+у1988=19881989. Атмосфера творческого поиска, царящая в классе в период работы над этими задачами, способствует тому, что многие ребята начинают сами составлять упражнения на применение этого алгоритма. Примечательно, что обучающиеся с интересом выполняют не только упражнения, предложенные учителем, но и “придуманные” их товарищами по классу. Активность в составлении упражнений, подобных, например, 7,9 и 11 из рассмотренных выше, проявляют даже самые слабые обучающиеся. Из педагогических соображений предложенные обучающимися задания следует включать в состав устных упражнений для фронтальной работы со всем классом.
Рассмотренный подход к структурированию задачного материала позволяет наиболее полно учитывать особенности интеллектуального и мотивационно-потребностного развития обучающихся и тем самым создавать условия для индивидуализации их включения в творческую деятельность.
Решение таких задач может послужить поводом для разговора (на доступном для обучающихся уровне) о том, какие задачи могут быть решены в дальнейшем на основе обнаруженного факта, с какими другими разделами математики он связан, в чем его принципиальная математическая важность. Круг же этих вопросов широк (системы счисления, алгоритм Евклида, числа Фибоначчи и их свойства, проблемы простых чисел, индукция и другие).
При проведении уроков всегда уделяю внимание подготовке обучающихся к олимпиадам.
Логические задачи, на мой взгляд, являются оптимальным средством развития творческого мышления и эвристической деятельности школьников. Ряд эвристических приемов можно сформировать у школьников уже 5-6 классов. Например, приемы моделирования, прием разбиения целого на части.
Задача. Заспорили три мудреца о том, кто из них самый мудрый. Наконец, они обратились к судье, славившемуся своей мудростью. “Скажи нам, справедливейший из судей, кто из нас самый мудрый?”.
Задумался судья, а потом и говорит: “Вот пред вами лежат 5 тюбетеек: 3 из красного бархата, а 2 — из черного. Сейчас вам завяжут глаза и наденут тюбетейки на головы. Когда повязки с ваших глаз снимут, самый мудрый из вас скажет, какая тюбетейка у него на голове”.
Так и сделали. Сняли повязки с глаз: видит каждый перед собой красные тюбетейки на головах товарищей, а какая на своей голове — не знает. Наконец, один мудрец сказал: “О, справедливейший из судей! Ты велел надеть на меня красную тюбетейку!” “Вот ты и есть самый мудрый из вас троих” - решил судья.
Как мудрец догадался, что на нем красная тюбетейка?
Решение. Так как всего 5 тюбетеек: 3 красные и 2 черные, то возможны 3 различных варианта:
а) на трех мудрецов надели 2 черные и 1 красную;
б) 1 черную и 2 красные;
в) 3 красные тюбетейки.
Каждый случай рассматривается отдельно, причем любая предыдущая подзадача поможет разобраться в последующей подзадаче.
В случае а) кто-то из мудрецов увидел бы или 2 черные тюбетейки (если на нем самом была красная), или 1 черную (если на нем была черная). А это противоречит условию, где сказано, что каждый увидел только красные тюбетейки.
В случае б) любой из собратьев обладателя черной тюбетейки увидел бы ее. А это тоже противоречит условию.
Остается случай в). К нему можно прийти без всяких дополнительных рассуждений.
Но тот, кто догадался о цвете своей тюбетейки, не знал, что каждый из спорщиков увидел только красные. Он мог предполагать, что на нем — черная. Но ему подсказало верный ответ молчание товарищей. Если бы кто-то из них увидел два черных головных убора, то сразу бы дал верный ответ относительно себя. Но молчание обоих свидетельствовало о том, что любой из них сомневался относительно того, какая тюбетейка у него на голове.
А это могло быть только тогда, когда каждый увидел две красные тюбетейки.
Где как не на уроке при решении таких задач одаренные дети могут раскрыться, удивить сверстников своей способностью рассуждать, сообразительностью и умением быстрее других решать логические задачи. Нестандартные, исследовательские задачи одаренные дети воспринимают как вызов интеллекту.
Вера в то, что личного опыта достаточно для успеха, затягивает решающего, а увлеченность поиском решения проблемы — главная движущая сила творческой активности.
Формированию творческой активности наиболее всего способствует самостоятельная работа обучающихся.
Изучение методической литературы и опыт работы по вопросу организации самостоятельной работы обучающихся, учет требований дифференциации в обучении позволяют сделать вывод о том, что в основу классификации типов самостоятельных работ фактически могут быть положены уровни усвоения знаний.
Можно представить следующую классификацию типов самостоятельной работы:
1) алгоритмический; 2) с указанием способа выполнения;
3) распознавание; 4) обобщение; 5) творчество.
Одно из важнейших умений самостоятельной работы — умение обоснованно делать выводы, проводить дедуктивные рассуждения — вырабатывается при выполнении самостоятельных работ четвертого типа. При выполнении заданий этого типа обучающимся необходимо выделять внешние и внутренние (скрытые) свойства объекта, проводить анализ их связей и отношений, обобщать на типичных примерах, проводить реконструкцию учебного материала.
Для самостоятельных работ пятого типа характерны так называемые творческие задания. Творчество заключается в деятельности, в которой существенным образом перестраивается прошлый опыт, осуществляется определенный неалгоритмический поиск знаний, элементы которого заранее не заданы и до начала решения неизвестны. Самостоятельные работы творческого характера предполагают высокий уровень самостоятельности обучающихся. В процессе выполнения таких работ обучающиеся открывают для себя новые стороны изучаемого материала, применяют изученное в новых ситуациях. Задания данного типа могут быть как на разработку, например, новых способов решения или плана действий, так и на самостоятельное составление задач. Целесообразно также использовать задачи как с недостаточными, так и с избыточными данными.
В качестве примера могут быть рассмотрены самостоятельные работы по теме “Неопределенный интеграл” для классов с углубленным изучением математики. Их можно предлагать учащимся как на уроке, так и на факультативных занятиях. Каждый вариант работы содержит задания, соответствующие приведенным типам самостоятельной работы и охватывает следующие темы: непосредственное интегрирование, интегрирование методом замены переменной, интегрирование по частям, разложение на простейшие дроби, интегрирование тригонометрических подстановок. Причем в каждом варианте используются разные формулировки к заданиям, так что задания различных типов охватывают все приведенные темы.
Задания 4 и 5 типов предлагаются обучающимся с повышенным уровнем математической подготовки. (см. Приложение №9)
Творческие самостоятельные работы требуют от детей собственной инициативы, заставляют анализировать и осуществлять самостоятельное решение задач. Каждый урок я продумываю так, чтобы одаренные дети были заняты самостоятельной работой, на уроки по решению задач подбираю задачи различной сложности. Контрольные работы и письменные зачеты предлагаю в нескольких вариантах разных по уровню сложности. В качестве примера самостоятельная работа по теме “Неопределенный интеграл” (11 класс) (см. Приложение №9).
Домашнее задание дифференцированное. В него включаю задачи, требующие творческого подхода к решению, наличия исследовательских умений обучающихся. Они способствуют творческой переработке изученных знаний, заставляют самоутверждаться одаренных детей.
Начиная с 8 класса школьники в математических классах обучаются по программе углубленного изучения математике. Кроме этого, реализации личностно-ориентированного подхода к обучению и воспитанию одаренных детей, созданию условий для более углубленного изучения математики служит организация элективного курса по выбору в 9 классе. Я провожу курс “Исследовательские задачи с параметрами” (см. Приложение №4). Трудности решения таких задач вызваны тем, что даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом их которых задача имеет решение. При этом приходится следить за сохранением равносильности решаемых уравнений и неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство.
Материалы курса развивают логическое мышление, формируют приемы самообразования, позволяют реализовать дифференциацию обучения, предполагающую применение разных методов работы.
Дифференцированный подход облегчает работу учителя, делает более реальным индивидуальный подход и личностный подход к обучению и воспитанию школьников. Реализуется дифференцированный подход чаще всего в форме работы обучающихся в группах. Исследователи отмечают, что работа обучающихся в группах позволяет им понять преимущества коллективной формы деятельности. Умение работать в коллективе, совместно обрабатывать информацию приобретает особое значение в условиях информационного общества.
Группа обучающихся 10-11 классов с углубленным изучением математики может получить задание: овладеть учебным материалом и подготовить передачу его остальным обучающимся класса. Также нужно изучить дополнительную литературу, подобрать задачи, в том числе нестандартные, и решить их заранее, подготовить выступающих.
Каждый член группы играет свою роль. Каждому обучающемуся я предлагаю индивидуальное задание, которое решается дома. Все члены группы советуются друг с другом при выполнении этих заданий. По образцу таких заданий участники группы разрабатывают задания для остальных детей класса. Например, задания к зачету по теме “Графики функций” (см. Приложение №5)
В индивидуальные задания могут включаться задачи повышенного уровня сложности, решение которых предполагает применение не только стандартных приемов, но и выработку оригинальных подходов. Такие навыки необходимы обучающимся в классах с углубленным изучением математики для поступления в вузы с повышенными требованиями к подготовке по математике.
Для выполнения заданий необходимо использовать не только учебники для школ с углубленным изучением математики, но и многочисленные пособия для поступающих в вузы (сборники задач МГГУ, материалы ЕГЭ). В процессе подготовительной работы определяются роли участников, в которых они могли бы проявить наилучшим образом. В ходе подготовки к таким урокам обучающимися были составлены самостоятельные работы с использованием компьютеров по темам:
Каждая работа дается в трех вариантах, каждый вариант содержит пять заданий.
Опрос программированный (к каждому заданию даются четыре варианта ответа, один из них правильный).
При составлении самостоятельных работ, которые содержат и задачи, и вопросы теоретического характера, учитывались типичные ошибки, допускаемые учащимися, и характерные трудности в усвоении учебного материала.
Используются в ходе подготовке к единому государственному экзамену (см. Приложение №5)
Начинаю подготовку к такой форме работы с 8-9 класса. В качестве примера урок по теме “Решение уравнений с модулем” для 9 класса с углубленным изучением математики. Группа обучающихся готовит к уроку вопрос “Решение уравнений, содержащих “модуль в модуле” (см. Приложение №3).
Таким образом, стараюсь направить одаренных школьников не столько на получение определенного объема знаний сколько на творческую его переработку, воспитывая способность мыслить самостоятельно на основе научного материала. Это и учит их творчески относиться к математике как науке, дает больше возможностей для самореализации личности, самоутверждения, и веры в свои силы и способности.
Увлечение математикой часто и начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады от городских до международных. Почти в каждом варианте олимпиадных заданий встречаются традиционные по формулировке задачи об окружностях и треугольниках, квадратных трехчленах и целых числах, уравнениях и неравенствах. Кроме того, это не просто упражнения на проверку знаний и применение стандартных школьных приемов, а чаще всего теоремы, которые нужно доказать, задачи на отыскание множеств (геометрических мест), минимумов и максимумов, требующие некоторые исследования.
Значительно больше задач с далеко не стандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства нужны здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать. Идея решения, поначалу неожиданная, может затем встретиться еще и еще раз. И постепенно искусственное рассуждение начинает восприниматься уже как привычный, сознательно применяемый метод.
На абсолютное большинство олимпиадных задач нельзя “натренировать” даже одаренного ребенка.
А вот проследить некоторые характерные приемы рассуждений можно на занятиях математического кружка. Например, в задачах о знакомствах, дорогах, турнирах — варианты или частные случаи теории графов.
План кружка рассчитан на один год, но, учитывая, что девятиклассники придут в 10 класс, а десятиклассники — в 11 класс, я в каждую тему закладываю материал более высокого уровня сложности (см. Приложение №6).
Обучение на хорошо подобранных задачах, решаемых школьниками в основном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска, развивает логику, нестандартность мышления, воспитывает упорство.
Но неизбежна ситуация, когда задача не получается. Что в этом случае делать? Прежде всего надо проследить, дает ли работа над задачей новое понимание и если да, то можно продолжить, а если нет, то решение лучше оставить (на какое-то время). Нужно уметь сводить задачу к более простой, ставить промежуточные задачи. Важно обсуждать со школьниками систему ценностей в процессе обучения. Например, ребенку может показаться, что решив только одну олимпиадную задачу, он сделал слишком мало, поскольку привык оценивать результат количеством выполненных на уроке упражнений. На самом же деле, если он открыл для себя что-то новое, то это больше, чем гора упражнений.
Даже если задача не получилась, то нужно извлечь уроки из своих поисков и продвижений.
А если решение получено, то его следует продумать, поскольку работа над задачей не исчерпывается ее решением. Надо понять, какие были трудности, какие есть аналогии, можно ли обобщить условие или идею решения.
Олимпиада — это праздник, на котором сверкают яркие математические идеи и красивые рассуждения. Но успех в таком празднике сопутствует тем, кто серьезно к нему готовится. Без системной работы на уроке и после урока большая победа в олимпиаде невозможна. Но невозможна она и без каждодневного “труда ума и души”, без умения задавать себе вопросы, проверять себя и множить свое знание - с помощью соответствующей математической литературы, путем обращения в Интернет, без самовоспитания и самообразования. Далеко не каждый подросток способен отказаться от свободного времени в пользу целенаправленной самостоятельной работы.
Начиная с 7 класса, одаренные дети работают с дополнительной литературой. Это журнал “Квант”, сборники олимпиадных задач, задания различных турниров, регат.
На занятиях кружка провожу конкурсы по решению задач. Это поощряет поиск новых оригинальных путей решения задачи, использование теоретического материала из различных математических книг, также служит подготовкой к олимпиадам. Решение может проходить сначала в малых группах, а потом идет совместное обсуждение его. Иногда оно полно азарта и страсти. Конкурс задач может проходить в несколько заочных туров, а заключительный — очный.
Для более успешной подготовки к олимпиадам я строю работу по принципу “преемственности поколений”, осуществляя глубокую связь между одаренными детьми 8-11 классов, делая эту связь своеобразной традицией кружка. Отдельные ребята обучаются в заочных физико-техничеких школах. Уровень предлагаемых там заданий высокий. Занятия приучают ребят к самостоятельности, дисциплине.
Школьники убеждаются на собственном опыте, что чем больше разнообразных задач они решают самостоятельно, тем значительнее их успехи. Это служит дополнительным стимулом к самообучению.
Взаимопомощь школьников разного возраста благотворно влияет на развитие и становление личности каждого из них. Помогая друг другу, требуя друг от друга максимальной отдачи занятиям, они углубляют свои знания. Может быть поэтому среди членов кружка — призеры городских олимпиад и победитель областной олимпиады.
Я убежден в том, что не только напряженная мыслительная работа развивает у одаренных детей познавательный интерес к математике, способствует развитию творческих способностей и индивидуальных особенностей. Талантливые дети требовательны не только к себе, но и к своему окружению. Поэтому стремлюсь проводить математические вечера, викторины, бои в рамках недели математики, которые бы легко запоминались, как говорят “на всю оставшуюся жизнь”. Например, заседание клуба Любителей точных наук (см. Приложение №8).
Действие объединяет во времени соревнование в решении занимательных и практических задач и музыкальные номера на темы физики и математики. Это позволяет во время решения очередной задачи соревнующимися командами всем присутствующим в зале отдохнуть, включиться в конкурс болельщиков, а свойства объектов математики, физики, ожившие в песнях, романсах, стихах, приобрели при этом яркую эмоциональную окраску и поэтому надолго запомнятся.
Организуя внеклассную работу по предмету, я стараюсь обеспечить прикладную направленность содержания математики, многообразие форм работы, вовлечение школьников в творческую деятельность.
Членами математического кружка был подготовлен и проведен вечер “Математика и архитектура”. Доклады “Гармония и алгебра великой пирамиды”, “Архитектура древней Греции”, “Архитектура Петербурга 18 века”, “Геометрия купола православного храма” использовались для дополнительного чтения при изучении тем “Многогранники” и “Тела вращения”.
Смена форм деятельности, опора на творческие интересы ребят, разнообразие сфер приложения способностей (от математики до живописи и поэзии) — все это помогает мне сохранить высокую работоспособность одаренных детей. У них вырабатывается потребность брать все новые и новые рубежи на пути своего роста.
Педагогические поиски привели меня к выводу о том, что и в обычных условиях школьного образования учитель может создать условия, стимулирующие развитие творческого мышления и творческой личности в целом. Основной целью такого обучения является организация соответствующего окружения, способствующего формированию творческого отношения к окружающей действительности.
Исходный, текущий и итоговый мониторинг мотивации к творческой деятельности при изучении математики провожу 1 раз в год с использованием анкеты Т.И. Шамовой «Как вы относитесь к учебе по отдельным предметам».
Обработка результатов производится по следующей схеме:
|
Высокий уровень мотивации к творческой деятельности при изучении математики |
4 |
Обучающийся проявляет повышенный познавательный интерес к изучению математики (ему интересны не только знания, но и способы их добывания, он испытывает интерес к самообразованию) |
|
Средний уровень мотивации к творческой деятельности при изучении математики |
3 |
Обучающийся интересуется предметом (он получает интеллектуальное удовольствие от решения задач, проявляет интерес к обобщениям и законам) |
|
Низкий уровень мотивации к творческой деятельности при изучении математики |
1-2 |
Обучающийся проявляет ситуативный интерес к изучению математики или учит ее по необходимости (он проявляет интерес к отдельным фактам или старается добросовестно выполнять программу) |
В своей работе больший акцент делаю на использовании различных видов мышления и меньший — на запоминании; использую оценку для анализа ответов, а не для награды или осуждения; создаю ситуации незавершенности, творческого использования знаний в самостоятельной работе; разрешаю и поощряю множество вопросов; ценю оригинальность, ответственность и независимость, внимание к интересам одаренных детей со стороны родителей, окружающих.
В то же время, существуют факторы, препятствующие развитию творческих способностей одаренных детей:
ü Стремление к успеху во что бы то ни стало, недопущение риска;
ü Неспособность противостоять давлению других;
ü Неодобрение исследования, воображения, фантазии;
ü Преклонение перед авторитетами;
ü Дифференциация игры и учения: «Учение — это тяжкий труд»;
ü Готовность к изменению собственного мнения.
Я считаю, что необходимо уделять внимание и специальному обучению различным аспектам творческого мышления: поиску проблем, связей; альтернативности и оригинальности в выдвижении гипотез; оценке разработанности идей.
В качестве основы для разработки таких упражнений я использую задания из всемирно известных тестов американского психолога Поля Торренса.
Тесты Торренса предназначены для диагностики творческого мышления, обучающихся; исследования развития одаренности обучающихся; оценки эффективности программ и способов обучения, учебных материалов и пособий, так как позволяют следить за изменениями самих способностей, а не только за конечными результатами.
Анкеты, тесты и рекомендации по их использованию можно найти в пособии института одаренности «Краткий тест творческого мышления». — М.: Интер, 1995; в книге А.М. Матюшкина «Загадка одаренности». — М.: Школа — Пресс, 1993, в сборнике «Одаренные дети» под редакцией Г.В. Бурменской и В.М. Слуцкого. — М.: Прогресс, 1991
Приложение №1
ТЕСТ
Склонность к работе с одаренными детьми.
Выберите один из предложенных вариантов ответа.
а) Да.
б) Нет, они и так достаточно хороши.
в) Да, в некоторых случаях, но при современном состоянии школы — не очень
а) Да, в большинстве случаев.
б) Нет.
в) Да, в некоторых случаях.
а) Да, наверняка.
б) Да, при благоприятных обстоятельствах.
в) Лишь в некоторой степени.
а) Да, наверняка.
б) Это маловероятно.
в) Возможно
а) Да.
б) Часто думаю, что не сумею.
в) Да, часто.
а) Да, меня это привлекает.
б) Нет, меня это не привлекает.
в) Все зависит от востребованности таких людей в обществе.
а) Да.
б) Удовлетворение лишь тем, что есть.
в) Нет, так как считаю слабой систему стимулирования.
а) Да.
б) Нет, достаточно знания передового опыта.
в) Нет.
а) Продолжаете сильнее упорствовать в начинании.
б) Махнете рукой на затеи.
в) Продолжите делать свое дело.
10. Воспринимаете ли Вы критику в свой адрес легко и без обид?
а) Да.
б) Не совсем легко.
в) Болезненно.
11. Когда Вы критикуете кого-либо, пытаетесь ли Вы в то же время его приободрить?
а) Не всегда.
б) При хорошем настроении.
в) В основном стараюсь это делать.
12. Можете ли Вы сразу вспомнить в подробностях беседу с интересным человеком?
а) Да, конечно.
б) Запоминаю только то, что меня интересует.
в) Всегда не могу вспомнить.
13. Когда Вы слышите незнакомый термин в знакомом контексте, сможете ли Вы его повторить в сходной ситуации?
а) Да, без затруднений.
б) Да, если этот термин легко запомнить.
в) Нет.
14. Учащийся задает Вам сложный вопрос на «запретную тему». Ваши действия.
а) Вы уклоняетесь от ответа.
б) Вы тактично переносите ответ на другое время.
в) Вы пытаетесь отвечать.
15. У Вас есть свое основное кредо в профессиональной деятельности. Когда Вы его защищаете, то:
а) Можете отказаться от него, если выслушаете убедительные доводы оппонентов.
б) Останетесь на своих позициях, какие бы аргументы ни выдвигали.
в) Измените свое мнение, если давление будет очень мощным.
16. На уроках по своему предмету мне импонируют следующие ответы учащихся:
а) Средний.
б) Достаточный.
в) Оригинальный.
17. Во время отдыха Вы предпочитаете:
а) Решать проблемы, связанные с работой.
б) Почитать интересную книгу.
в) Погрузиться в мир Ваших любимых увлечений.
18. Вы занимаетесь разработкой нового урока. Решаете прекратить это дело, если:
а) По вашему мнению, дело отлично выполнено, доведено до завершения.
б) Вы более или менее довольны.
в) Вам еще не удалось сделать, но есть и другие дела.
Подсчитайте баллы, которые Вы набрали, следующим образом:
За ответ «а» - 3, «б» - 1, «В» - 2.
Результаты:
Приложение №2
ТЕСТЫ ПО ДИАГНОСТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ:
Методика исследования «Любовь к задачам»
Цель: установить характер и особенности мотивации решения задач учениками.
Порядок проведения. Ученикам предлагают заполнить дома следующую анкету (выбранный ответ подчеркнуть):
Любите ли вы решать задачи?
а) очень люблю, б) люблю, в) скорее люблю, чем не люблю, г) скорее не люблю, чем люблю, д) не люблю.
Почему вы решаете задачи?
а) Заставляют учителя, б) заставляют родители, в) хочу получить хорошую оценку, г) хочу решить быстрее других, д) мне интересен сам процесс решения, е) интересно преодолевать трудности, ж) хочу испытать радость от успешного решения, з) хочу узнать способ решения.
Что является для вас наиболее важным в процессе решения?
а) быстрота решения, б) количество решенных задач, в) оригинальность решения, г) самостоятельность решения, д) умение хорошо оформить и объяснить решение.
Какие задачи вы любите решать?
а) легкие, б) с запутанными условиями, в) головоломки, г) трудные, требующие длительных поисков решения, д) любые.
Какой способ работы над задачей вам больше всего нравится?
а) подробное объяснение решения учителем, б) обсуждение с товарищем, г) самостоятельное решение.
Какой этап решения вам больше всего нравится?
а) получение ответа, б) анализ условий задачи, в) составление плана решения, г) поиск наилучшего способа решения, д) оформление решения, е) проверка решения.
Какой из названных этапов решения вызывает у вас наибольшие трудности?
Обработка полученных результатов: Количественный подсчет ответов учащихся дает возможность установить характер, силу и устойчивость мотивов решения задач по данному учебному предмету.
Методика «Свободные задания»
Цель: установить наличие у школьников учебно-познавательных интересов и их характер.
Порядок проведения. В конце урока, если не задано очень сложное и большое домашнее задание, учитель предлагает детям по желанию выполнить какое-то свободное задание. При этом указывает, что они могут по желанию выполнить любую часть задания в любом количестве. Оценка за выполнение этого задания выявляться не будет. Само задание должно содержать как простые упражнения (задачи), способ решения которых уже знаком ребятам, так и сложные упражнения и упражнения, требующие поиска способов решения. На следующем уроке учитель фиксирует в своей тетради, сколько и какие задания выполнил каждый ученик. Такие свободные задания даются учащимся несколько раз в течение учебной четверти, с тем, чтобы получить более обоснованные, не случайные результаты.
Обработка полученных данных. Результаты выполнения учеником свободных заданий оцениваются в зависимости от количества выполненных заданий и от их выбора учеником. За выполнение легкого упражнения можно начислить 1 балл, за более сложное упражнение — 2 балла, за упражнение незнакомого характера — 3 балла. Средняя сумма полученных баллов за выполнение свободного задания может служить показателем уровня положительного отношения ученика, к данному предмету (силы мотива), а отношение суммы балов — за выполнение упражнений, направленных на поиск способов решения. Первая сумма является показателем направленности мотивов учения на способ решения. Если этот показатель больше 0,5, то это верный признак того, что в мотивации школьника доминирует учебно-познавательный мотив.
(По книге Л.М. Фридмана, с. 91)
Приложение № 3
Тема: «Решение уравнений, содержащих модуль».
Тип: урок проверки и коррекции знаний и умений.
Цели: - завершение рассмотрения типовых способов решения уравнений с модулем, совершенствовать умение обучающихся в выборе рационального способа решения заданного уравнения;
- развитие логического мышления, самостоятельности обучающихся, умения анализировать, математически и графически оформлять результаты деятельности, осуществлять взаимо- и самоконтроль;
- воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов, повседневного трудолюбия.
Оснащение: кодопленки, кодоскоп, таблица «Решение уравнений с модулем», карточки-задания, сборники конкурсных задач МГГУ (С.А. Редкозубов, 1991).
Ход урока.
1. Обратить внимание обучающихся на то, что в математике выделяют восемь типичных способов решения уравнений с модулем. С учетом данного урока они должны знать пять. Главная задача — научиться находить наиболее рациональный способ решения для заданного уравнения.
- К концу урока попробуйте установить, какой способ считается одним из самых эффективных, универсальным способом, какой изысканным, какой примитивным?
2. Трое обучающихся работают у доски по заданиям на карточках, остальные выполняют самостоятельную работу на отдельных листах под копирку.
Решите уравнение:
Решите уравнение графически:
Текст самостоятельной работы:
а) Решить уравнение методом интервала
б) Решить уравнение
Обучающиеся, работающие по заданиям на карточках №1, №2, осуществляют взаимопроверку. Остальные — взаимопроверку результатов работы с решением задания на карточке №3.
3. Тема «Решение уравнений с модулем» постоянно присутствует на олимпиадах и вступительных экзаменах в вузы.
Рассмотреть решение задачи № 111 (сборник задач МГГУ): при каком значении параметра а уравнение имеет ровно три корня?
После упрощения .
- Какой способ решения наиболее эффективен? (графический)
- Какие приемы построения графика функции с модулем надо знать?
- Какой будем использовать?
В конце решения усложнить формулировку задания: «Исследовать количество корней уравнения в зависимости от параметра а». Затем самостоятельная работа - №131-140 (сборник МГГУ). Каждый обучающийся выполняет отдельное задание (№ 131. При каком значении а уравнение имеет ровно три корня?). Дополнительное задание всем: №91 (сборник МГГУ): при каком значении параметра а уравнение имеет ровно один корень?
4.– Как же решаются аналитически уравнения, содержащие «модуль в модуле»?
Сообщение обучающегося от группы с использованием примеров:
а) ;
б) .
Далее обучающиеся решают самостоятельные задания, подготовленные группой:
5. Подведение итогов работы (с помощью таблицы). Провести сравнительный анализ изученных способов решения уравнений с модулем, отметить преимущества и недостатки того или иного способа.
Приложение №4
Программа элективного курса по математике для 9 класса с углубленным изучением математики.
Пояснительная записка. Данный курс предназначен для учащихся 9 класса, собирающихся в 10 класс с углубленным изучением математики. Курс строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач с параметрами. Значительная часть задач либо заимствованы из материалов вступительных экзаменов в ВУЗы и ЕГЭ, либо непосредственно примыкают к ним и по содержанию, и по уровню трудности. Решение этих задач целесообразно и для создания «запаса прочности» на будущее, и для повышения общего уровня математического развития.
Цель курса — повысить математическую культуру обучающихся, расширив представления об изучаемом в основном курсе материале.
Задачи курса:
Образовательные результаты. По окончанию изучению курса обучающие должны:
Знать основные аналитические и графические приемы решения задач с параметрами
Уметь:1. Обращаться с фиксированным, но неизвестным числом;
Содержание программы.
Тема №1.
Параметр и поиски решений уравнений, неравенств и их систем (3 часа). Поиск решений линейных и квадратный уравнений и неравенств в общем виде («ветвление»). Решение уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр. Сочетание графической наглядности с аналитическим вычислением.
Тема №2.
Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем (2 часа). Исследование количество решений. Графические приемы решения задач с параметрами.
Тема №3.
Параметр и свойства решений уравнений, неравенств и их систем( 3 часа). Задачи, в которых требуется исследовать, при каких значениях параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения (решением уравнения, неравенства, системы является какое-то подмножество действительных чисел и др.).
Тема №4.
Параметр как равноправная переменная (2 часа). Функции с двумя переменными в задачах с параметрами.
Тема №5.
Свойства функций (2 часа). Задачи, в которых с ключом к решению являются свойства функций (четность, нечетность, монотонность).
Тема №6.
Исследование условий расположения корней квадратного трехчлена с параметрами (3 часа). Задачи, решение которых связано с исследованием знаков дискриминанта, старшего коэффициента, с положением вершины параболы, с теоремой Виета, расположением корней квадратичной функции относительно заданных точек. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.
Тема №7.
Задачи на составление уравнений (2 часа).
Решение текстовых задач.
Методические рекомендации. Основными формами организации учебного процесса в рамках представленного курса являются лекции, уроки решения задач, семинары. Цель семинаров — установление обратной связи для проверки понимания обучающимися изучаемого материала и его закрепления.
Формы контроля. Основной формой контроля является оценка результатов самостоятельных работ обучающихся, а также анализ контрольного обобщающего занятия.
Планирование.
|
№ п/п |
Темы занятий |
Всего часов |
Лекции |
семинары |
Уроки решения задач |
Форма контроля |
|
1 |
Параметр и поиск решений неравенств и их систем |
3 |
1 |
1 |
1 |
Самостоятельная работа |
|
2 |
Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем |
2 |
2 |
2 |
Самостоятельная работа |
|
|
3 |
Параметр и свойства решений уравнений неравенств и систем |
3 |
1 |
1 |
1 |
Самостоятельная работа |
|
4 |
Параметр как равноправная переменная |
2 |
1 |
1 |
||
|
5 |
Свойства функций |
2 |
1 |
1 |
Самостоятельная работа |
|
|
6 |
Исследование условий расположений корней квадратного трехчлена в задачах с параметрами |
3 |
1 |
1 |
1 |
Самостоятельная работа |
|
7 |
Задачи на составление уравнений |
2 |
1 |
1 |
Литература.
Приложение № 5
Творческие работы обучающихся
Зачеты по теме «График функций»
Задания: 1. Постройте график функции;
|
Вариант 1.
б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) . 3. |
Вариант 2.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. |
|
Вариант 3.
б) ; в) 2. а) ; б) ; в) 3. . |
Вариант 4.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. . |
|
Вариант 5.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. |
Вариант 6.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. . |
|
Вариант 7.
б) ; в);
б) ; в); 3. . |
Вариант 8.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. |
|
Вариант 9.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. |
Вариант 10.
б) ; в) .
б) ; в) . 3. . |
Приложение №6
Программа математического кружка олимпиадного направления (8-11 класс)
Основные цели проведения кружковых занятий:
- подготовка одаренных детей к олимпиадам по математике;
- углубление и расширение знаний по математике;
- развитие математического кругозора, мышления, исследовательских умений;
- воспитание настойчивости, инициативы.
Программа кружка составлена с учетом тем, углубляющих инвариантный курс (неравенства, методы геометрии), традиционной олимпиадной тематики (принцип Дирихле, метод упорядочения) и общекультурных тем (метод математической индукции, графы). Отдельные темы мало связаны друг с другом, отсутствуют сквозные содержательные линии. Мозаичность программы является одним из основных принципов (поскольку я убеждена, что дополнительное математическое образование должно строиться на основе максимального учета индивидуальных особенностей и интересов одаренных школьников). Программа позволяет каждому одаренному ребенку ознакомиться с различными математическими идеями, увидеть все их многообразие.
Тематическое планирование курса.
(1 час в неделю, всего 34 часа)
1. Комбинаторика.(4 часа) Выбор в несколько этапов. Выбор одним из возможных способов. Ситуации, когда количество возможностей выбора зависит от результата выбора на предыдущих этапах. Перестановки. Понятие факториала. Формула для вычисления числа перестановок. Идея кратного подсчета. Идея перехода к дополнению. Сочетания. Свойства чисел сочетаний. Формула для вычисления числа сочетаний. Треугольник Паскаля и его свойства. Переформулировка комбинаторной задачи: идея «шары и перегородки». Бином Ньютона.
Основная цель: сформировать у школьников понимание основных комбинаторных идей, своеобразное чутье, интуицию.
Методические замечания. Не следует увлекаться решением задач на формальное применение формул числа перестановок и сочетаний. Привлекательность темы связана с наглядностью, возможностью наполнения ее задачами с практическим содержанием.
2. Методы инварианта и упорядочения. (3 часа) Четность: идея чередующихся объектов, идея разбиения на пары. Четность суммы нескольких чисел. Понятие инварианта. Числовые инварианты. Идея раскраски в решении задач методом инварианта. Остаток от деления как инвариант. Задачи на упорядочение. Принцип крайнего элемента.
Основная цель: начать систематическое формирование общей математической культуры обучающихся.
Методические замечания. Тема является традиционно олимпиадной, но при изучении темы обучающимися непривычно и сложно доказывать алгебраические и теоретико-числовые утверждения, так как в школьном курсе математики доказательства встречаются «в чистом виде» лишь в геометрии.
3. Делимость и остатки. (4 часа) Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Остатки от деления. Элементарные свойства остатков; их применение для решения задач. Решение задач перебором возможных остатков. Остатки от деления точных квадратов 3 и 4. Алгоритм Евклида. Сравнения по модулю и их свойства. Классы сравнимых чисел. Десятичная запись числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 8, 3, 9, 11. Уравнения в целых числах. Малая теорема Ферма и ее применение к решению задач.
Цель: систематизация, обобщение и углубление имеющихся у школьников знаний и умений.
Методические замечания. Изучение темы требует достаточно высокой мыслительной культуры и аккуратности в рассуждениях и поэтому традиционно широко представлено в олимпиадных задачах.
4. Принцип Дирихле. Принцип Дирихле в простейшей и обобщенной формулировках. Идея «клеток с ограниченной вместимостью» и другие дополнительные соображения. Использование принципа Дирихле при решении задач на делимость чисел. Задачи на избыток и недостаток.
Цель: обучить школьников умению применять принцип Дирихле при решении задач, которые воспитывают у обучающихся умение устанавливать соответствие между двух множеств.
Методические замечания. Классический олимпиадный раздел, имеющий огромное значение для формирования математической культуры школьников, так как рассматриваемые в ходе его изучения методы доказательства «чистых теорем существования» не встречаются в традиционном курсе математики.
5. Графы. (4 часа) Понятие графа. Изоморфные графы. Степени вершин. Число ребер графа. Теорема о четности числа нечетных вершин. Эйлеровы графы. Задачи на рисование «не отрывая карандаша от бумаги». Деревья. Лемма о висячей вершине. Плоские графы. Теорема Эйлера и следствия из нее. Полные графы. Ориентированные графы.
Цель: показать полезность использования понятий теории графов при решении математических задач.
Методические замечания. Тема довольно широко востребована при решении задач олимпиадной направленности, позволяет школьникам почувствовать красоту математики, что имеет большое воспитательное и мотивационные значение.
6. Геометрия. (4 часа) Неравенство треугольника и простейшие геометрические неравенства. Геометрические задачи на минимум, решаемые применением осевой симметрии, и неравенства треугольника. Движения плоскости. Композиция движений. Применение движений для решения задач. Свойства углов (смежных и вертикальных, треугольника, многоугольника, центральных и вписанных) и задачи на их применение. Площади фигур. Задачи на построение. Метод геометрических мест точек. Метод подобия при решении геометрических задач.
Цель: обобщить и систематизировать знания и умения школьников в применении методов геометрии, формирование умений видеть стандартную идею в конкретной геометрической задаче.
Методические замечания. Предполагается, что конкретные знания и умения сформированы у школьников в ходе изучения инвариантной программы.
7. Метод математической индукции. (3 часа) Классическая форма математической индукции. Простейшие задачи на иллюстрацию метода. Доказательство тождеств. Задачи на делимость. Доказательство неравенства. Нетрадиционные схемы метода математической индукции: использование на каждом шаге нескольких или всех предыдущих доказанных утверждений, индукция со счетной базой и другие.
Цель: развитие умений школьников грамотно мыслить в процессе решения задач с различным содержанием.
Методические замечания. Метод математический индукции — один из краеугольных камней всей математики.
8. Неравенства. (3 часа) Числовые неравенства. Сравнение значений числовых выражений построением цепочки неравенств. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим и его применение к доказательству неравенств. Метод выделения полного квадрата и других тождественных преобразований при доказательстве неравенств. Доказательство неравенств методом математической индукции.
Цель: систематизировать и обобщить методы доказательства неравенств, известные из школьного курса.
9.Математические соревнования. (6 часов) На каждое соревнование (олимпиаду, математический бой, викторину) выделяется 2 часа. 1 час — на подготовку к соревнованию (или это математический бой или викторина) или анализ его итогов (например, разбор задач олимпиады).
Цель: развитие психологической устойчивости одаренных детей в условиях стресса, мобилизация их мыслительных способностей, повторение изученного материала.
Методические замечания. Для проведения соревнований разумнее всего подбирать задачи комплексного характера, требующие применения нескольких идей или методов из числа изученных, а также задачи, требующие применения субъективно новых для школьников идей.
«Таинственные истории»
Часто эмоциональная сфера школьников за время занятия математического кружка приходит в сильное возбуждение. Поэтому большое значение имеет правильная организация занятия.
Эмоциональное напряжение сочетается с усталостью, что при внезапном прекращении работы вызывает неприятные ощущения. Между тем необходимо, чтобы о занятии кружка осталось приятное воспитание.
Я использую такой прием. Рассказывая какую-то «таинственную историю», прошу восстановить пропущенные факты. Дети задают вопросы, начинающиеся словами «верно ли, что…». Отвечаю только «да», «нет» или «вопрос некорректно поставлен» (если нельзя ответить ни «да», ни «нет»). Через некоторое время дети начинают сами придумывать «таинственные истории», используя сказки, анекдоты, детективы.
«Таинственные истории» учат логические мыслить в нематематических ситуациях. Их разгадывание напоминает работу ученого в экстремальных науках.
Примеры.
Разгадки.
Литература.
Журналы.
Книги.
1. Библиотечка «Квант».
2. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975.
3. Генкин С.А., Итенберг И.В. и Факина Д.В. Ленинградские математические
кружки. — Киров, 1994.
4. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические олимпиады. –
М.? Просвещение, 1971 (и другие издания).
5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — М.: Наука, 1991.
6. Гальперин Г.А., Топтыго А.К. Московские математические олимпиады. — М.:
Просвещение, 1986, 303 с.
