МЕКТЕПТЕГІ ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДАҒЫ ПАРАМЕТРЛІ МАЗМҰНДЫ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУ

ШҚО, Көкпекті ауданы, Самар ауылы «Ж.Болғанбаев атындағы Самар орта мектебі» КММ математика пәні мұғалімі Акенева Асем Жумагалиевна

Мектеп оқушыларының, тіпті студент — математиктердің де геометриялық есептерді нашар шығаратындығы белгілі. Оның бірнеше себебі бар. Біріншіден геометриялық есеп оқушыдан шығармашылық қасиеттерді талап етеді. Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмайды. Үшіншіден геометрияның оқулықтары мен есептіктердің мазмұнымен де байланысты.

Геометрияда параметрлік мазмұнды есептер алгебралық параметрлі есептерден өзгешелігі оның мәтініндегі сөйлемдермен, сөздермен, терминдермен айрықшаланады. Мысалы, геометриялық фигураның өлшемін білдіретін параметрдің қандай мәнінде (биіктік, қабырғасының ұзындығы, бұрыш, аудан, көлем, периметр және т.б.) деп келсе, ал екінші сипаттамасы белгілі бір шарттарды (өзара тең, ең үлкен немесе ең кіші болады, берілген аралықта жатады және т.б.) қанағаттандырады.

«Алгебралық» параметрлі геометриялық мазмұнды есептерді шешу жолдарын қарастырайық.

Есеп №1. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі Р, ал бір қабырғасының ұзындығы а-ға тең. Үшбұрыштың екінші қабырғасының ұзындығын табыңыз. Параметр а-ның әр түрлі мәнінде есептің неше шешімі болады?

Шешуі.

1. Егер а — үшбұрыштың табаны болса, онда бүйір қабырғасы 0,5(Р-а). Үшбұрыштың теңсіздігін пайдаланып, мына жүйеге көшуге болады.

Бірінші теңсіздік үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы әрқашанда оң сан болатынын көрсетеді.

2. Егер а — үшбұрыштың бүйір қабырғасы болса, онда табаны — (Р-2а).

Жауабы: 1) 0,25Р ˂ а ˂ 0,5Р аралығында есептің екі шешімі бар:

а, 0,5(Р-а), 0,5(Р-а) және а, а, Р-2а;

2) 0 ˂ а ˂ 0,25Р аралығында есептің бір ғана шешімі болады:

а, 0,5(Р-а), 0,5(Р-а).

3) а≤0 немесе а≥0,5Р болғанда есептің шешімі жоқ.

Мұндағы параметр үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы ғана емес, оның қандай қабырға, яғни не табаны, не бүйір қабырғасын анықтауды көздейді.

Есеп №2. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышының биссектрисасы бүйір қабырғасын сүйір бұрыш жасап қияды. Үшбұрыштың бұрышын табыңыз. Параметр – ның қандай мәндерінде есептің екі шешімі болады?

Шешуі. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышын 2х деп аламыз.

1. Егер болса, онда х+2х+=180°, бұдан шығады және ∠В=120°-. ∠В ˂ 90°, ендеше ˃ 45°.

2. Егер ∠2= болса, онда бұл бұрыш ABD үшбұрышының сыртқы бұрышы және өзімен сыбайлас емес ішкі екі бұрыштың қосындысына тең екені белгілі. Яғни, х= Бұдан шығады ∠В=, ал ∠С= Шарт бойынша ∠В˂90°, ендеше ˂135°

Жауабы: 1) болса, осы есептің екі шешімі бар: ∠А=∠В=120°-

Екі есеп те 7 сыныптағы « Тең бүйірлі үшбұрыш» тақырыбындағы жалпылау есептеріне жатады. Екінші есепте де екі параметр қарастырылған: алгебралық (), геометриялық (бұрыштар ∠1 және ∠2).

Есеп №3. Тең бүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы -ға тең. -ның қандай мәндерінде есептің бір, екі шешімі болады?

Шешуі.

1. Егер тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышының шамасы болсын. Онда табанындағы бұрыштар өзара тең, шамасы 90°-0,5 болады.

2. Егер тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышының шамасы болса, онда олар өзара тең болғандықтан, төбесіндегі бұрыштың шамасы 180°-2 болады.

Жауабы: 1) 0°˂˂90° аралығында есептің 2 щещімі бар:

2) 90°≤˂180° болғанда, есептің бір ғана шешімі бар:

.

3) ≥180° болса, есептің шешімі жоқ.

Параметр ретінде үшбұрыштың бұрышы ғана емес, оның табанындағы бұрыш, не табанына қарама-қарсы төбесіндегі бұрыш екені де ескеріледі. Алынған есеп «Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы» тақырыбына берілген есептер жүйесін жалпылау деуге болады.

Есеп №4. Гипотенузасы с тік бұрышты үшбұрыш берілген. Сүйір бұрышы – ның қандай мәндерінде үшбұрыштың ауданы ең үлкен болады?

Шешуі. АВ=с, ∠А=, ∠С=90° болсын. АС=с·cos, ВС=с·sin тең болса, онда S=

Жауабы:

«Геометриялық» параметрлі мазмұнды есептерді қарастырайық.

Есеп №5. АВ кесіндісін қамтитын түзудің бойынан АС=с, АВ=а болатындай С нүктесі алынған. ВС кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Шешуі. Түзу бойындағы үш нүктенің тек қана біреуі қалған екеуінің ортасында жатады. Сондықтан есепті шешу үшін үш жағдай қарастырылады.

1. А нүтесі В және С нүктелерінің ортасында жатсын. Кесінділерді өлшеу аксиомасы бойынша ВС=ВА+АС, бұдан шығады ВС=а+с.

2. В нүктесі А және С нүктелерінің ортасында жатсын. Онда АС=АВ+ВС, бұдан шығады ВС=с-а.

3. С нүктесі А және В нүктелерінің ортасында жатсын. АВ=АС+СВ, бұдан шығады ВС=а-с.

2,3 жағдайлар сәйкес келмеуі мүмкін, себебі кесіндінің ұзындығы әрқашанда оң сан.

Жауабы: ВС=а+с және ВС=|а-с|.

Аталмыш есептегі параметр мына қасиет «Түзу бойындағы үш нүктенің тек қана біреуі қалған екеуінің ортасында жатады»

Есеп №6. ∠(ab) төбесінен с сәулесі жүргізілген. Егер ∠(ab)=, ∠(bc)= болса, онда ∠(ас) неге тең?