Рухманова Вера Вячеславовна
Должность:учитель
Группа:Посетители
Страна:Россия
Регион:Саратовская область
31.08.2015
0
519
0

Урок по алгебре 11 класса "Как считать логарифмы еще быстрее"

Как считать логарифмы еще быстрее

Функция с одним логарифмом

Первая фишка идеально подходит для простых функций, в которых стоит только один логарифм. Она работает в тех задачах, где требуется найти значение функции (а не точку экстремума). В этом случае:

Выражение под знаком логарифма должно равняться единице.

Потому что ln 1 = 0.

Откуда берется это требование? А вы попробуйте сосчитать, например, ln 2 или ln 0,5. В обоих случаях получится иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. И только ln 1 = 0 — нормальное число.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 0]:

y = 3ln(x + 2) − 3x + 10.

Как видим, в задаче есть ровно один логарифм: ln(x + 2). Его аргумент должен быть равен единице:

x + 2 = 1;
x = −1.

Поскольку нас просят найти наибольшее значение функции, число x = −1 — не что иное как точка максимума. Находим значение функции в этой точке:

y (−2) = 3ln(−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 · 0 + 3 + 10 = 13

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [11/12; 13/12]:

y = 3x2 − 11x + 5ln x + 7

Снова приравниваем аргумент логарифма к единице:

x = 1

Подставляем это число в исходную функцию:

y (1) = 3 · 12 − 11 · 1 + 5 ln 1 + 7 = 3 − 11 + 5 · 0 + 7 = −1

Вдумчивый читатель возразит, мол, существует замечательное число e ≈ 2,7. И для него ln e = 1, ln e2 = 2 и т.д. Но составитель задач должен быть настоящим маньяком, чтобы «втиснуть» в функцию это число. Встреть такую задачу на ЕГЭ почти нереально.

Функция с несколькими логарифмами

Если функция содержит сразу несколько логарифмов, их надо объединить по правилам сложения и вычитания — см. «Основные свойства логарифмов».

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0,2; 1,2]:

y = 2x2 − 5x + ln (12x) − 7 − ln 12

Для начала объединим логарифмы и перепишем исходную функцию:

ln (12x) − ln 12 = ln (12x : 12) = ln x;
y = 2x2 − 5x + ln x − 7.

Остался один логарифм. Его аргумент должен быть равен единице:

x = 1

Находим значение функции в точке x = 1 — это и будет наибольшее значение:

y (1) = 2 · 12 − 5 · 1 + ln 1 − 7 = 2 − 5 + 0 − 7 = −10

Умножение логарифма на функцию

Если логарифм умножается на другую функцию, приведенные выше правила не работают. Взгляните на пример:

y = (x − 5) · ln x

Эта функция будет нормальным числом при x = 1, поскольку логарифм обнулится, и при x = 5, поскольку обнулится множитель (x − 5).

Такие задачи считаются только по стандартной схеме, через производную. Кстати, логарифм всегда будет только натуральный, потому что у него нормальная производная:

 

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 5]:

y = x · (ln x − ln 2 − 1)

Итак, логарифм умножается на другую функцию. Значит, специальные правила бесполезны — работаем по стандартной схеме. Считаем производную:

y´ = (x · (ln x − ln 2 − 1))´ = (x)´ · (ln x − ln 2 − 1) + x · (ln x − ln 2 − 1)´ = ln x − ln 2 − 1 + 1 = ln x − ln 2

Производная функции вполне адекватна. Приравниваем ее к нулю:

ln x − ln 2 = 0;
ln x = ln 2;
x = 2.

Точка x = 2 ∈ [1; 5], значит у нас три числа: 1; 2; 5. Подставляем их в исходную функцию:

y (1) = 1 · (ln 1 − ln 2 − 1) = −ln 2 − 1;
y (2) = 2 · (ln 2 − ln 2 − 1) = −2;
y (5) = 5 · (ln 5 − ln 2 − 1) = 5 · (ln (5 : 2) − 1) = 5 · (ln 2,5 − 1).

Первое и последнее число нам явно не подходят, поскольку их нельзя записать в ответ. Остается единственное значение функции: −2.

Выводы

В заключение, еще раз перечислю основные моменты:

1.   Если в задаче только один логарифм-слагаемое, приравниваем его аргумент к единице;

2.   Несколько логарифмов-слагаемых собираем в один логарифм. Далее работаем как в пункте 1;

3.   Если логарифм умножается на число, перечисленные правила бесполезны. Работаем по стандартной схеме.

 

 

 

Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

 

Разбираем вариант 96 (1-14)               Полный цикл видеоуроков по задачам 1-14

8(B9). Точки графика, в которых производная равна нулю (вар. 42)


На рисунке изображен график функции y = f(x), определённой на интервале (-11;2).
Найдите  количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.


Если производная функции равна нулю, то угловой коэффициент касательной, проведённой
к графику функции в этой точке (или тангенс угла наклона касательной
к положительному направлению оси ОХ) тоже равен нулю.



Иначе говоря, касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.
Примеры таких касательных приведены на рисунке выше.



Осталось посчитать, сколько горизонтальных касательных можно провести.
На графике ровно семь соответствующих точек (их называют критическими).
Ответ: 7

Заметим заодно, что все эти точки являются и точками экстремума функции,
среди которых отличают точки максимума (красные) и минимума (жёлтые).


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 25033

Обучающие модули в PowerPoint
В8_1. Производная [скачать, 86.11 Kb ].
В8_2. Производная [ скачать, 100.12 Kb ].
В8_3. Производная [ скачать, 105.96 Kb ]      
В8_4. Производная [ скачать, 143.66 Kb]

1.

Прямая y = 7x – 5  параллельна касательной к графику функции y = x² + 6x – 8. Найдите абсциссу точки касания.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

2.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 


Правильный ответ: 4

 

Комментарии:
Решение показано на рисунке.
Изучи материал: подобное задание на слайде [скачать]

 
 

 

3.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

4.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (–1; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = – 3. (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

5.

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (–2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

6.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–2; 9). В какой точке отрезка [2; 6] f(x) принимает наибольшее значение? (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

7.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–8; 4). В какой точке отрезка [–7; –3] f(x) принимает наименьшее значение? (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

8.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–13; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [–8; 6].(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

9.

На рисунке изображен график производной функции y = f(x), определенной на интервале (–18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [–13; 1].(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 

 

 

 

10.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [–10; 10].

Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения