Ольга Николаевна
Должность:Редактор
Группа:Команда портала
Страна:Украина
Регион:Харьков
30.07.2013
0
3566
0

«Формулы сложения и формулы двойного аргумента».

Казахстан,Костанайская область г. Костанай

ГУ «Алтынсаринская основная школа»

отдела образования акимата Костанайского района 

Учитель математики и физики

Байкунов Валерий Шаймуханович

«Формулы сложения и формулы двойного аргумента».

Цели и задачи урока :

Образовательные – повторить формулы сложения, вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.

 Развивающие – вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.

 Воспитательные – побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.

 Ожидаемый результат: Каждый учащийся должен знать формулы сложения, вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов обучения.

 План урока:

Организационно-мотивационный этап.

Повторение

Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Изучение нового материала.

Домашнее задание.

Итог урока.

Закрепление изученного материала (контрольный срез).

Ход урока

 1 Организационно –мотивационный этап.

2 Повторение (слайды).

Сегодня мы вспомним как делится единичная окружность на четверти и расставим на окружности точки, соответствующие числам: 0; π/6; π/4; π/3; π/2.

Слайд 1. (Приложение 1)

Устно, используя изображение нескольких точек, расположить остальные по окружности до 2π.

Слайд 2. (появляются числа 2π/3; 2π/4; 2π/6 и т. д.)

Введём определение синуса, косинуса числа t.

Слайд 3.

Определение.

Если точка М соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Используя слайд 2 с числами на оси Ox и Oy расширим диапазон значений для cos t и sin t.

Устно посчитать значения sin t и сos t до 2π.

Слайд 4.

Слайд 5.

sin(-t) = -sin t;

cos(-t) = cos t.

Слайд 6.

sin(t+2k) = sin t;

cos(t+2k) = cos t.

Слайд 7.

sin(t+π) = -sin t;

cos(t+ π) = -cos t.

Слайд 8.

sin(t+ π /2) = cos t;

cos(t+ π /2) = -sin t.

Слайд 9. все вместе формулы без рисунка

Сегодня на уроке мы выведем формулы тригонометрии – формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения. Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.

Презентация.

3. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов. Вызываются 3 учащихся, которые на 3 досках записывают отдельно эти формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;

cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;

Далее учащиеся устно работают с места.

№1 Упростить выражение:

a) cosα∙cos3α - sinα∙sin3α;

б) sin2α∙cosα + cos2α∙sinα;

в) sinα∙cos3α + cosα∙sin3α;

г) .

№2 Вычислить:

a) sin100∙cos200 + cos100∙sin200;

б ) cos180∙cos120 – sin180∙sin120;

в) sin400∙cos50  + cos400∙ sin50;

г) cos70∙cos380 – sin70∙sin380;

д)   .

4. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения.

Если положить в формулах, записанных вами в начале урока на доске x= y, то получаем:

1)  sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny                
  sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

    sin2x=2sinxcosx

2)   cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny

cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos2x – sin2x

cos2x= cos2x – sin2x

3)  tg(x+y) =

tg2x =

tg2x  

Каждую из 3-х формул выводит 1 ученик.

Рассмотреть варианты применения данных формул.

sin10x = 2sin5xcos5x

 cos(8x – 14y) = cos2(4x – 7y) – sin2(4x – 7y)

tg

 2sin7xcos7x = sin14x

cos23,5t - sin23,5t = cos7t

А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2x – sin2x

1. Доказать тождество:

cos2x = 1 – 2sin2x

cos2x = cos2x – sin2x = (1 - sin2x) - sin2x = 1 - 2 sin2x

cos2x = 1 - 2 sin2x

2. Доказать тождество:

cos2x = 2cos2x – 1

cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1 - cos2x) = 2cos2x – 1

cos2x = 2cos2x – 1

3. Выразить sin2x из равенства:

cos2x = 1 - 2sin2x

2 sin2x = 1 – cos2x

sin2x =

4. Выразить cos2x из равенства:

cos2x = 2cos2x – 1

cos2x+1 = 2cos2x

2cos2x = cos2x+1

cos2x =

Итак, выполняя №1 и №2, мы получили еще два варианта формулы двойного аргумента, а выполняя №3 и №4, вывели формулы понижения степени.

 5. Домашнее задание.

Учить формулы, выполнить тест по вариантам. Ученики получают карточки.

 1 Вариант

 2 Вариант

5. Итог урока.

Что нового узнали на уроке?

Довольны ли вы своей работой на уроке?

 6. Закрепление изученного материала. Контрольный срез.

Учащиеся выполняют работу на карточках с дифференцированными заданиями по теме урока (самопроверка).

 1 вариант.

№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

а)

Ответ:

1) 4/3;

2) 4/3cosx;

3) 2/3;

4) 4/3ctgx.

 б)

Ответ:

1) cos20;

2) 2cos20;

3) ctg20;

4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

 а)

 Ответ:

1) 3tgx;

2) 3sinx;

3) 1.5sinx;

4) 3tg2x.

 б) cos2t – cos2t =

 Ответ:

1) sin2t;

2) -sin2 t;

3) 2cos2 t+sin2 t;

4) другой ответ.

 2 вариант.

 №1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:

а)

 Ответ:

1) -3tg2x;

2) 3sin2 x;

3) 6 tgx;

4) 3tg2 x.

 б)

 Ответ:

1) 3/2;

2) 2/3;

3) 2/3sin2x;

4) другой ответ.

№2 Упростите и выберите правильный ответ:

а)

 Ответ:

1) tg2x;

2) 2sinx;

3) 1/2sinx;

4) 1/2 + tgx.

б) cos2t + sin2t =

 Ответ:

1) cos2t;

2) 2sint;

3) cost-sint;

4) другой ответ.

 Проверяются верные ответы.

 1 вариант:

 №1 а) 1; б) 2.

№2 а) 2;б) 1.

2 вариант:

 №1 а) 4; б) 2.

№2 а) 3; б) 1.

 Учащиеся поднимают руку, кто при выполнении работы сделал 2 ошибки, затем – кто одну ошибку и, наконец, кто не сделал ни одной ошибки, выполнил всё полностью и верно.

Молодцы ребята, отлично поработали.

 Ученики сдают карточки на проверку учителю.

 Спасибо за урок! 

Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения