Александр
Должность:не указана
Группа:Команда портала
Страна:Харьков
Регион:не указан
24.04.2013
0
3147
2

Геометрическая прогрессия





Россия, г.Тверь

Государственное бюджетное  общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа города Твери»

Учитель математики

Жукова Надежда Викторовна

 

Геометрическая прогрессия

Цель урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения практических задач; развитие познавательного интереса к математике.

Задачи урока:

Образовательные:

  • совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул геометрической прогрессии; применять свои знания в практических ситуациях; расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;

Развивающие:

  • развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитательные:

  • воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Сообщение одного из учащихся.

Практическое применение геометрической прогрессии (слайд 3,4)

1. Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы, более известный  под именем Фибоначчи занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...Это ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией .

2. В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”. Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 1,8 раза.

Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

3. Еще один пример геометрической прогрессии – изменение массы радиоактивного вещества со временем. Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T – время периода полураспада. Массы не распавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

4. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

5. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.

6. Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Почему геометрическая прогрессия названа “геометрической”? Видимо потому, что каждый её член равен среднему геометрическому, соседних с ним членов.

А такое среднее названо геометрическим, поскольку оно является стороной квадрата, равновеликого прямоугольнику, стороны которого имеют длины, равные тем величинам, от которых берется среднее.

3.  Повторение теоретических моментов, устная работа (слайд 5)

Числовую последовательность          b1, b2, b3, …, bn, …, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Таким образом, для всех натуральных n выполняется равенство  bn+1 = bnq, где bn≠0, q – некоторое число, не равное нулю.

Решите устно

  • Назовите первый член, знаменатель и среднее геометрическое геометрической  прогрессии:
    1)6; 3; 1,5; ….
    2)–16, –8, –4, ….
  • Назовите первые четыре члена геометрической прогрессии:
    1) b1=2,  q=0,5.
    2)b1=–3,  q= 2.

4.Работа в парах по заполнению таблицы (раздаточный материал - листочки с таблицей) с последующей проверкой (слайд 6,7)

 

5.Повторение формул n-го члена, суммы членов геометрической прогрессии, применение теории, решение задач на интерактивной доске (слайды 8-10)

Задача1. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было  а клеток?

Решение. Искомое количество клеток найдем по формуле n-го члена геометрической прогрессии=1024a 

Задача2.Банк начисляет по вкладам 3% годовых. Сколько денег будет на счету у вкладчика через 5 лет, если он положил на счет 10000р.?

Решение. Формула сложных процентов

При=10000, p=3, n=5  b=10000(=10000·=11592,74р.

Задача3. О финансовых пирамидах.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в 8 круге, уже ничего не получит.

Задача4. Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека?

Ответ: за пять дней

6. Дифференцированные задачи для групп (слайд 11)

 

Ответы. 1) 48,60,75. 2) 32. 3) 5. 4) 6083,26р. 5) 35821,57р.

7. Подведение итогов.

Вывод:  Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием,  мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач во многих реальных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Литература:

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 12-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2010.

Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009.;

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008;

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990;

Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения