Александр
Должность:не указана
Группа:Команда портала
Страна:Харьков
Регион:не указан
06.04.2013
0
9606
5

Задачи на проценты

Казахстан, Актюбинская область

ГУ «Средняя школа №1Мартукского района»

Учитель математики 

Юсупова Аккибат Бердибаевна

Задачи на проценты

     Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает « за сотню» или « со ста».

     Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач в клинописных табличках посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не  «со ста», а с «шестидесяти».

      Проценты были  особенно распространены в Древнем Риме.

Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем их область применения расширилась, проценты встречаются  в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

     В настоящее время процент – это частный вид  десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto.

Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту ( / ) и возник современный символ для обозначения процента.

         При решении текстовых задач на проценты крайне необходимо умение анализировать весь  комплекс условий задачи, составлять верные соотношения между заданными и искомыми величинами и записывать их в виде математических выражений.

     В основном задачи на проценты решаются методом последовательных вычислений с составлением пропорции, с последующим нахождением ее неизвестного члена или алгебраически - составлением уравнения. В задачах на сплавы и смеси иногда лучше прибегнуть к диагональной схеме правила смешения двух растворов, называемого в аналитической химии «правилом креста»

 

             I.Основные правила и  формулы.

 Процент — это сотая часть числа ( или 0,01).

Чтобы найти 1% от числа, надо это число разделить на 100.

Например,      1%  от  250 равен   250/100=2,5.

 Чтобы обратить десятичную дробь в процент, надо эту дробь умножить на 100.

Например, 0,5=0,5·100=50%.

                    1,8=1,8·100=180%.

Чтобы перевести  процент в десятичную дробь, надо процент разделить на 100.

Например,      2%=2:100=0,02.

                   12,5%=12,5:100=0,125.

В задачах на проценты некоторую величину а принимают за 100% - целая, а ее часть b – за р%а  -  100%          а:100%

                                                              b -   р%              b:р%,

по основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних и можно найти неизвестный член.

 

; ; .

 

Формула сложного процентного прироста суммы, положенной на вклад в банке: = ,

где S – сумма, внесенная в банк;

P –  число процентного прироста;

n – количество  единиц времени (год, месяц);

Sn –сумма, полученная  после сложного процентного прироста. 

“Правило креста”

“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

Слева, на концах  отрезков  записывают  исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху -  большая),  на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются  разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.

 

 

Смешение растворов
Требуемую концентрацию записывают в центре "креста", а концентрации исходных растворов - у концов обеих линий слева (большая - вверху, меньшая - внизу). Затем из записанных чисел вычитают величину, стоящую в центре, и разности записывают на тех же линиях (справа). Полученные числа (справа - вверху и внизу) указывают, сколько массовых частей каждого раствора следует взять, чтобы получить раствор требуемой концентрации.

Приготовить 40%-ный раствор из 65%-ного и 20%-ного растворов.

 

Таким образом, для приготовления 40%-ного раствора необходимо взять 20 мас.ч. 65%-ного раствора и 25 мас.ч. 20%-ного раствора.

Разбавление раствора до требуемой концентрации прибавлением растворителя.
Поступают так же, как и в предыдущем случае, но вместо меньшей концентрации внизу ставят "0".

Приготовить 20%-ный раствор из 45%-ного раствора.

 

Таким сбразом, для приготовления 20%-ного раствора необходимо взять на 20 мас.ч. 45%-ного раствора 25 мас.ч. растворителя.

 

                 II.Типовые задачи на проценты

 

№1  В морской воде 6%соли.Сколько соли в 250кг.воды?

Решение:

     250*6/100= 15 г.     А можно так:        250*0,06= 15.

 

№2  Какую часть часа составляют 36 минут? И сколько это процентов?

Решение:

  36/60=0,6;  36 мин=0,6часа. Чтобы перевести данное число  в %  надо умножить на 100%

Ответ: 60%.

 

№3  Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

 

Решение:

 Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг).  

Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза.

Найдем эту новую массу:   0,2 : 0,02 = 10 (кг)

Ответ. 10 кг. 

 

22 кг

 

Решение: В 22 кг свежих грибов 90% воды, а 10% - абсолютно сухая основа грибов (сухой остаток).

Вычислим сухой остаток: 22*10% = 22*10/100 = 2,2 кг.

В сухих грибах содержится 12% воды, значит

                 этот сухой остаток (2,2 кг)  в сухих грибах составляет 100% - 12% = 88%.

2,2 кг /88% *100%  = 2,5 кг       

 Ответ: 2,5

 

5  Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%.

После подсушивания влажность грибов снизилась до 98%. Найдите массу грибов после подсушивания.

 

Решение:

В 100 кг грибов 99% воды, т.е. 100*99/100 = 99кг воды и 1кг абсолютно сухих грибов.

После подсушивания в полученных грибах - 98% воды и 2% абсолютно сухих грибов.   Значит, 1кг абсолютно сухих грибов составляет теперь 2%, тогда найдем 100% (новый вес грибов).

1кг /2% * 100% = 50 кг

Ответ: 50 кг грибов стало после подсушивания

 

№6  Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

 

Решение : составим  пропорцию:    

2кг изюма       — 32%              

х кг винограда  — 100%        

 х=2·100/32 = 6,25

 

Ответ: Из 6,25кг

 

№7  В математическом кружке где занимается Оля, девочки составляют менее 5%.Какое наименьшее число мальчиков может быть в таком кружке, при наименьшем количестве девочек?

Решение:

В математическом кружке точно есть одна девочка (Оля) - наименьшее число девочек, тогда число всех детей в кружке 1·100 : 5 = 20 детей

Мальчиков в кружке 20-1=19

Ответ: наименьшее число мальчиков 19

 

№8  В хоровом кружке, где занимается Петя, более 93% участников - девочки. какое наименьшее число детей может быть в таком кружке?

Решение: 

Девочек 94%, тогда мальчиков - 6%

д: м = 94:6 = 47:3    всего детей 47+3 = 50

Девочек 95%, мальчиков -  5%.

д:м = 95:5 = 19:1     всего детей 19+1 = 20 - наименьшее число детей

Д - 96%, м - 4%    д:м = 96:4 = 24:1     всего детей  24+1=25

Д- 97%, м - 3%     д:м = 97:3                         всего  97+3=100

98% и 2%   -->      д - 49, м - 1, всего 50

99% и 1%        всего 100

Ответ: 20

 

№9  Семья заготовила на зиму 180 кг картофеля.

К концу зимы картофеля было израсходовано на 40% больше, чем его осталось. Сколько кг картофеля осталось к концу зимы?

  Решение: Пусть осталось х кг картофеля, тогда израсходовали (180-х) кг.

Разница между израсходованным и оставшимся картофелем составляет (180-х)-х кг, что равно 40% от х или 0,4х.

Составим уравнение: 180 - х - х = 0,4х

180 - 2х = 0,4х

180 = 2,4х

х = 180/2,4

x = 75 (кг)

Ответ: 75 кг  осталось картофеля.

 

№10  В трёх книгах 520 страниц. Число страниц во второй книге составляет 40% числа страниц в первой,  а число страниц в третьей составляет 1/3 числа страниц в первой. Определите, сколько страниц в каждой книге.

Решение:

Пусть в первой книге х страниц, тогда во второй 40% от х , т.е. 0,4х, а в третьей х/3.

Составим уравнение:  х + 4х/10 + х/3 = 520

Приведем к общему знаменателю 30.

30х/30 + 12х/30 + 10x/30 = 520

52x/30 = 520      / делим обе части уравнения на 52

х/30 = 10

x = 10·30

x=300 (страниц в первой книге)

300· 0,4 = 120 (стр. во второй)

300/3 = 100 (стр. в третьей).

Ответ: 300, 120, 100

 

№11  Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

   Решение:

 Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8х кг, а после увеличения веса на 30% стал весить 0,8х·1,3 кг и т.д., в итоге Женя весил 0,8х·1,3·0,8·1,1, или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел. 

Ответ. Нет.

 

               III. Задачи экономического содержания

 

№12  В течение зимы завод выпустил 4225 холодильников. Сколько холодильников выпускалось ежемесячно, если 18% холодильников, выпущенных в январе, равны 27% холодильников, выпущенных в декабре и 36% холодильников, выпущенных в феврале?

Решение: Пусть в январе выпустили х холодильников.

Тогда 18%х=0,18х  составляет 27% от тех, что выпустили в декабре.

0,18х/27% ·100% = 18x/27 = 2x/3 - выпустили в декабре.

Аналогично, 0,18х/36·100 = 18x/36 = x/2  - выпустили в феврале.

Уравнение: х + 2х/3 + x/2 = 4225.

13х / 6 = 4225,  x = 4225/13*6,   x = 1950 (янв),  2x/3 =1300 (дек),  x/2 = 975 (февр).

Ответ: 1950,1300,и 975

 

№13  До повышения тарифов за проезд стоимость билета на маршрутном такси составляла 10 рублей, а после повышения 11 рублей. На сколько процентов увеличилась оплата проезда?

Решение:

Iспособ:1) 11 : 10 ·100% =110% - после повышения тарифа

2) 110%-100% = 10% - ответ

IIспособ: С помощью пропорции:

10 руб. - 100%

11 руб. - х%                    х%=11·100/10 = 110%

                                       110%-100% = 10%

Ответ: на 10% увеличилась оплата проезда

 

№14  Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Решение:

Пусть первый изготовил х деталей и это 100%, тогда второй изготовил 100%+15%=115% от х,

т.е. х/100·115 = 1,15х деталей, а вместе они изготовили

х+1,15х, что равно 86 деталей.

Уравнение: х+1,15х = 86;           2,15х = 86;           х= 86 / 2,15; 

х=40 (деталей) - изготовил первый,   

 86–40=46(деталей) - изготовил второй.

Ответ: 40 и 46.

 

№15   1,2 млн. рублей,  на 1,5 млн. рублей. Определите, на сколько процентов картон второго сорта дешевле картона первого сорта, если картона второго сорта было закуплено на 10 т. больше и он был на 20 руб. /кг дешевле первого.

Решение:  Пусть первого сорта х тонн=1000х кг, тогда его цена = 1200 000/(1000х) = 1200/х руб. за кг.

Второго сорта х+10 тонн = 1000(х+10) кг, 

его цена 1500 000/(1000(х+10)) = 1500/(х+10) руб. за кг.

1200/х - 1500/(х+10) = 20.     х2 + 25х - 600 = 0.   х=15 тонн.

Цена первого  1200/ 15 = 80 руб. за кг,

цена второго 80-20=60 руб. за кг.

Посчитаем %:   (80-60)/80·100% = 25%. 

Ответ: на 25%.

 

№16  Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?

   Решение: 

     Пусть а – цена изготовителя. Тогда оптовая цена одного альбома 1,3а, т.к. она больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в магазине 1 альбом стоит:  1,3а·1,2а = 1,56а руб. При распродаже цена снизилась на 10%. т.е. на 0,156а руб. Получаем цену альбома после снижения 1,404а руб., а это составляет 70,2 рубля.

    Решая уравнение  1,404а = 70,2, находим, что цена изготовителя а равна 50 руб. Покупатель заплатил на 20,2 рубля больше по сравнению с ценой изготовителя.  

Ответ. На 20,2 рубля.

 

№17  Зарплату повысили на р%, затем новую зарплату увеличили на 2р%. в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Решение:

Пусть до повышения зарплата составляла 100%.

(100+р) % - после первого повышения.

(100+р)%·(1+2р/100)  - после второго повышения. 

Зарплата увеличилась в 1,32 раза после двух повышений, значит, составляет132%.

Уравнение      (100+р)(1+2р/100)% = 132%

10000 + 100р + 200р + 2р2 = 13200.

р2 + 150р - 1600 = 0.           р= (–150+170)/2 = 10%.   

Ответ: на 10%.

 

 

 

№18  Некоторый товар поступил в продажу по цене 300 рублей. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течении недели остаётся неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течении третьей недели?

Решение: В первый день второй недели цена снизилась на 10%, значит,

стала равна 90% от 300руб,     т.е. 300/100*90 = 270 рублей.

В первый день третьей недели цена стала равна 90% от 270 рублей,

т.е. 270/100*90 = 243 рубля. 

Второй способ.

Найдем 10% от 300 рублей и вычтем. 300·0,1 = 30    300-30 = 270

Найдем 10% от 270 рублей и вычтем.  270·0,1 = 27    270 - 27 = 243 рубля.

Ответ: 243 рубля.

 

№19  В течение декабря ОАО ТМП перевело с расчетного счета в банке Огни Первопрестольной (Москва, Россия) на счет в банке "Libertados Mercosur" (Санто-Доминго, Доминиканская республика) 
50% от имевшихся на счету денежных средств,
затем еще 10 млн. долларов,
затем еще 5% от оставшихся на счету денег.
При этом сумма денег на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur" увеличилась на 31%.

Сколько денег было на расчетном счету ОАО ТМП в банке Огни Первопрестольной в начале  декабря, если на расчетном счету предприятия в банке "Libertados Mercosur"  изначально было 200 млн. долларов.

Решение:

Заменим  громоздкие названия на"Фирма 1" и "Фирма 2".

 

Пусть на фирме 1 было вначале х млн.долл.

х/2 + 10 + (x/2 -10)·5%  - было перечислено и это составило 31% от 200 млн.долл.

или:0,5x +10+0,025x -0,5=0,525x +9,5 

31%  от 200  это 62

Соответственно 

0,525x=52,5

X= 100 млн.

Ответ:100млн. долларов.

 

№20   Транспортный караван компании "Intermarket" проследовал из Камбоджи в Мьянму, проехав транзитом через территорию Таиланда. В Камбодже была уплачена 12% экспортная пошлина, в Таиланде компания заплатила 8% транзитную пошлину, а в Мьянме —15% импортную пошлину. Какова была первоначальная стоимость груза, если после уплаты указанных пошлин она составила $405 тысяч, а пошлины рассчитывались в процентах от первоначальной стоимости груза.

Решение: По условию пошлины рассчитывались в процентах от первоначальной стоимости груза. 

Значит, проценты просто суммируем. И лучше стоимость считать в процентах.
Первоначальная 100%, конечная -  135%

405/1,35 = 300 тыс. 

Ответ: 300 тыс.-  первоначальная стоимость

 

№21  Два землекопа вспахали поле. Производительность первого землекопа на p%

больше, чем второго, но он работал в к  раз меньше. Какую часть поля вспахал второй землекоп?

Решение: если говорится, что производительность первого больше, чем второго, то принимаем производительность второго за 100%, тогда производительность первого будет (100+р)%. Он работал в k раз меньше, поэтому выполнил  (100 +р)/k %.

Вспашка всего поля  составляет 100+ (100+p)/k  %.

Берем отношение выполненной работы вторым работником ко всему объему работ, т.е.

100 / (100+(100+p)/k). Запишем в виде дроби и упростим. Получится: 

    100k / (100k+100+p)

Ответ: второй землекоп вспахал 100k / (100k+100+p) часть поля

 

№22   Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Решение: 

Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали производить х + 0,25х = 1,25х = 5/4х деталей за смену. С новой производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .

Ответ. На 20%.

 

№23  Богатый дядюшка оставил четверым своим племянникам 272 млн. долларов, причем они были разделены на четыре части так, что вторая составляет   15% первойтретья —60% второй, тогда как четвертая —50% от величины  второй и третьей вместе взятых. Чему равна меньшая часть наследства?

Решение

Первому —  х млн. руб. Второму — 0,15х.  Третьему - 0,15x*0,6=0,09x    Четвертому -  0,5· (0,15x+ 0,15x·0,6)= 0,12x

Суммируем, приравняем  x+0,15x+0,09x+ 0,12x = 272 млн, 

 1,36x=272 млн, 

  x=200 млн.

 Получается: 1-му -200 млн.,   

                         2-му - 0,15·200=30 млн.,    

                         3-му - 0,09·200 =18 млн.,      

                         4-му   - 0,12· 200= 24 млн.

Ответ: Меньшая часть наследства = 18 млн.

 

№24  По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3-х лет.   Какой доход был получен по истечении этого срока?

   Решение:

 В конце первого года сумма составляет 55000 руб. Теперь начисляем 10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 руб. Чтобы найти весь доход за три года, находим 110% от 60500, а это число равно 66550.

  Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.

Ответ. 16550 руб.

 

             IY. Задачи на сплавы и смеси

 

 №25  Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45%  меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди.

Решение:

Определим количество меди в сплаве.  36·0,45=16,2 кг.   

Можно это определить также из пропорции    

36 - 100%, 

х - 45%.  -->   х=36·45/100 = 16,2)

 

Добавим к сплаву у кг меди. Получим пропорцию:

36+у      -  100%

16,2+у   -  60%                  

100(16,2+у) = 60·(36+у);  

1620+100у = 2160+60у;  

40у=540;   

 у=540/40=13,5.

Ответ: 13,5 кг.

 

№26  Вычислить массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получили сплав 900-ой пробы),а сплавив с 2 кг сплава 900-ой пробы, получили сплав 840-ой пробы.

Решение: Пусть масса данного сплав х кг, а чистого серебра в нем у кг.

90-я проба означает, что в сплаве содержится 90% серебра, т.е. 0,9 части всего сплава.  

Добавив 3 кг чистого серебра, получили сплав массой х+3 кг,

в нем серебра у + 3 кг. 

(у+3) / (х+3) = 0,9        (1)

В 2-х кг сплава 900-й пробы содержится 2·0,9=1,8 кг чистого серебра.    

Во втором случае получим 840-ю пробу. Масса сплава  х+2 кг, в нем серебра у+1,8 кг.

(у+1,8) / (х+2) = 0,84  (2)

Решим систему уравнений (1) и (2).

у +  3   = 0,9х + 2,7         (3)

у + 1,8 = 0,84х + 1,68       (4)

Вычтем из (3) уравнение (4).

1,2 = 0,06х + 1,02

х=3 кг - масса сплава

у + 3 = 0,9·3 +2,7

у=2,4 кг - масса серебра в данном сплаве.

Проба: х/у·100 = 2,4/3·1000 = 800

Ответ:3кг; 800

 

  №27   Для получения сплава из олова, меди и никеля олова берут на 20% больше, чем меди, и в 1,5 раза меньше, чем никеля.

Найдите процентное содержание в данном сплаве никеля.  Какую часть сплава составляет медь?

Решение:

Пусть меди взяли х, тогда олова взяли 120% от х, т.е.

 х· 120/100 = 1,2х.

Никеля взяли в 1,5 раза больше, чем олова, 

т.е. 1,2х·1,5 = 1,8х.

1) Масса всего сплава х + 1,2х + 1,8х = 4х.    

                                    4х = 100%,    

                                      х= 100% / 4 = 25%.

2) Никеля взяли 1,8х = 1,8 ·25% = 45%

3) Медь составляет х/(4х) = 1/4 часть сплава.

Ответ:1/4 часть сплава составляет медь.

 

№28  Из двух сплавов, один из которых содержит 20% олово, а другой - 40% олова, необходимо получить сплав массой 4 кг, который содержал бы 25 % олова. Сколько килограммов каждого сплава необходимо для этого взять?

Решение: Пусть первого сплава надо взять х кг,

                                                 тогда второго 4-х кг.

Олова в первом сплаве 20% от х, т.е. 0,2х кг,

во втором -  40% от (4-х), т.е. 0,4(4-х) кг.

В новом сплаве олова 4·25% = 4/100·25 = 1 кг.

Уравнение:  0,2х + 0,4(4-х) = 1

0.2х+1.6-0.4х=1

1.6-1=0.4х-0.2х

0.6=0.2х

х=0.6:0.2

х=3(кг)первого сплава, 4-3=1(кг)второго сплава.

Ответ:3кг,1 кг.

 

№29  В каком соотношении нужно взять сплавы золота 30% и 55%,чтобы получить новый сплав 40% золота?

Решение: Одного сплава взяли х, а второго — у.

Уравнение:  0,3х + 0,55у = 0,4(х+у)

0,3х+0,55y = 0,4x + 0,4y

0,15y = 0,1x;    15y = 10xy/:x = 2:3

Ответ:   4:6 = 2:3  

 

№30  20 г

Решение:

Было: масса сплава – х г, серебра – (х – 20) г.

Процентное содержание серебра: 100 · (х – 20) / х

Стало: добавили 5 г серебра и 10 г золота.

Вес сплава    (х + 5 + 10) = х + 15 (г).  

Вес серебра  (х – 20 + 5) = (х – 15) г

Процентное содержание серебра:  

100 · (х – 15) / (х + 15)

Составим уравнение:

100 · (х – 15) / (х + 15) - 100 · (х – 20) / х = 5

100 · (х – 15) · х  - 100 · (х – 20) · (х + 15) = 5 х (х + 15)

100х2 – 1500х – 100 (х2 – 5х – 300) = 5х2 + 75х

100х2 – 1500х – 100 х2 + 500х + 30000 = 5х2 + 75х

2 + 1075х – 30000 = 0

х2 + 215х – 6000 = 0

х = 25 (х = -240 – не удовлетворяет)

25 – 20 = 5 (г) – серебра в первоначальном сплаве

Ответ: 5г серебра содержал первоначальный сплав.

 

№31  Смешали 250 г, 300 г и 450 г азотной кислоты соответственно* 20%, 30% и 40% концентрации. Какова концентрация смеси?

Решение: 

1) Общая масса раствора: 250+300+450=1000 г

2) 250·0,2 + 300·0,3 + 350·0,4 = 50 + 90 + 140 = 270 г - кислоты в растворе после смешивания

3) 270/1000 ·100% = 27%

Ответ: 27.

 

 

№32  Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре
с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

 

Решение. В 35 г пюре содержится 35 · 0,08 = 2,8 г воды    и    35 - 2,8 = 32,2 г сухого  вещества.
Добавим в пюре х г воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нём - (2,8 + х) г.
Заметьте, что сухого вещества останется по-прежнему 32,2 г.

Составим пропорцию:  

35 + x

100%

2,8 + x

86%

Решим пропорцию:    (35 + x)·86 = (2,8 + x)·100

Получим:  3010 + 86x = 280 + 100x;   2730 = 14x; x = 195.              

     Ответ:  195 грамм воды.     

 

№33  Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды  нужно прибавить к к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

Решение:  Найдем соль в морской воде:   40кг·5%=40·5/100= 2 кг.

Пусть х кг чистой воды надо добавить.

 Пропорция:

40+х кг  —  100%

2 кг         — 2%                             2(40+х) =2·100        х=60 кг воды

Ответ: 60 кг пресной воды нужно добавить.

 

№34  Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?

Решение: Пропорция:12 кг - 100%

                                        а кг -  45%, а=12·45/100=5,4 кг меди и 12-5,4=6,6 кг олова содержал сплав изначально.

Пусть х кг чистого олова нужно добавить.

Было: масса сплава – 12кг, олова – 6,6 кг.

Стало: добавили х кг олова. Вес сплава (12+х) кг, олова –(6,6+х)кг.

Получим пропорцию:  5,4 кг  -  40%  меди

                                 (6,6+х) кг  - 60% олова, откуда       

                                          6,6+х=5,4·60/40=8,1

                                                 х=8,1-6,6=1,5 кг

Ответ:1,5кг олова нужно добавить к сплаву.

 

№35  Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10-ный раствор?

Решение: 1) 0,16·735=117,6г йода имеется, спирта же было

                    735-117,6=617,4г

                  2)в новом растворе: 117,6г - 10% йода

                                                          х г -  90% спирта,  

                                                          х=117,6·90/10=1058,4г

          3) необходимое количество спирта -1058,4 - 617,4г = 441 г.

Ответ: 441г.

 

№36  Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т  целлюлозной  массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Решение: Пусть следует выпарить х кг воды.

1)       Было:  0,85воды и 0,15 целлюлозы, общее количество 0,5т=500кг.

    0,15·500=75кг целлюлозы в 500кг массы и 500-75=425 кг воды

2)      Стало:  в новом растворе:  0,75 воды и соответственно 0,25 целлюлозы

                   0,25 – 75 кг целлюлозы

                   0,75 – х кг воды, х= 0,75·75/0,25 = 225 кг воды  должно остаться, значит  выпарить следует    425- 225=200 кг воды.

Ответ: 200кг  

 

№37  Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

 

Решение:

   1) Было: Составим пропорцию:  30 кг – 100%

                                                          х  кг -   5%,  х = 30·5/100=1,5 кг соли

и   30-1,5= 28,5кг воды.

   2)  Стало:  в новом растворе:  1,5 кг соли – 1,5%

                                                        у  кг          - 98,5%, у = 98,5 кг воды должно быть.

3)      98,5-28,5=70 кг пресной воды следует добавить.

Ответ: 70 кг.

 

№38  Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Решение: Пропорция:36 кг - 100%

                                        а кг -  45%, а=36·45/100=16,2 кг меди и 36-16,2=19,8 кг цинка содержал сплав изначально.

Пусть х кг чистой меди  нужно добавить.

Было: масса сплава – 36кг, меди -16,2 кг.

Стало: добавили х кг меди. Вес сплава (36+х) кг, меди  –(16,2+х)кг.

Получим пропорцию:19,8 кг– 40%  цинка                             

                                     (16,2+х)кг  -60% меди, откуда 16,2+х=19,8·60/40= 29,7

         х = 29,7-16,2

         х = 13,5 кг

Ответ:13,5кг меди нужно добавить к сплаву.

 

№39  Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:  30%                        5

 

                                15%

                   10%                       15

Пояснение к схеме:  первый столбец (30% и10%) смешиваемые растворы;

Второй столбец (15%) требуемый раствор;

Третий столбец - разность по направлению стрелок(15-10=5 и 30-15 =15)показывает необходимое соотношение  смешиваемых растворов.(СмI раздел)

 нужно взять в отношении 5:15 или 1:3

х+3х=600, 4х=600 , х =600:4=150 г первого раствора и 3·150 = 450 г второго раствора. 

600г – 100%

 х  г  -15%, х = 600·15/100 = 90 г соли содержит новый раствор          

    Ответ: 150г и 450 г.            

 

№40  Имеются два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?

Решение:

300г  -  100%

m  - 60%  

m=180г. олова

Пусть х г от второго куска надо прибавить к первому, тогда масса нового сплава будет равна (300+х). Масса олова составила (180+0,4х)г.

Составим пропорцию:

(300+х)    - 100%

(180+0,4х) - 56%

56(300+х)=100(180+0,4х)

х=75г.

  Ответ: 75г от второго куска надо добавить к первому.

 

№41  Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

 

Решение:

 До сплавления в двух кусках было

 300·20 / 100 + 200·40/100 = 140 г олова.

 После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140·100/500 (%) = 28(%) олова.          

Ответ. 28%.

 

№42  В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

Решение:

  В данной задаче объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%)       

Ответ. 20%

  №43  Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Решение.:

 Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1·4=0,4, или 0,05х+0,25·(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4.

Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.          

Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

 

№44  Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении

3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?

Решение:

 Пусть нужно взять х кг первого и у кг второго сплава.

  В х кг первого сплава серебра будет (3/5)∙х кг,

а в у кг второго сплава серебра будет (7/10)∙у кг.

Масса нового сплава (х+у) кг, и в нем серебра будет (11/16)∙(х+у) кг.

Составим уравнение: 3х /5 + 7у /10 = (11/16) ∙(х+у) 

                                     6х + 7у = 55(х+у) / 8

                                   48х + 56у = 55х + 55у

                                       y = 7x. 

Т.е. первого сплава надо взять одну часть, а второго 7 частей.

Ответ. Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.  

 

№45  Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение:

 Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100· p/100 + 200· q/100=50·(100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42·(300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%.     

Ответ. 60% 

Литература

  1. Алдамуратова Т.А., Байшоланов Т.С. «Математика»учебник для 5 класса «Атамура».2010.
  2. Алдамуратова Т.А., Байшоланов Т.С. «Математика»учебник для 6 класса «Атамура».2011.
  3. Бордзун О.В.Основные методы решения задач на смешивание растворов. Статья. Раздел «Преподавание математики. Преподавание химии».Интернет ресурс.
  4. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва. «Просвещение».1994г.
  5. Говоров В.В., Дыбов П.Т. и др. Сборник конкурсных задач по математике. Москва, издательство»наука»,1986г.
  6. Дыбов П.Т., Забоев А.И., Иванов А.С.  и др.Под ред. А.И. Прилепко. Москва. «Высшая школа», 1983. Сборник задач по математике для поступающих в вузы ( Учебное пособие)
  7. Ерыгин Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по химии. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по биол. и хим. Спец. Москва. «Просвещение»1989.
  8. Хомченко Г.П., Хомченко И.Г. Задачи по химии для поступающих в вузы: Учебное пособие. Москва. «Высшая школа».1993.
  9. Жанна Черняк, Аркадий Черняк. Математика. Решения наиболее трудных задач из Сканави. Москва.»Айрис Пресс»1999г.

10.  Цыпкин А.Г., Пинский А.И.Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Москва, издательство «Наука»,1983г.



Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения