Ольга Николаевна
Должность:Редактор
Группа:Команда портала
Страна:Украина
Регион:Харьков
18.01.2014
0
1493
0

Система ключевых задач в курсе планиметрии

 Россия, г.Москва

ГБОУ СОШ №176

Учитель математики

Горбатюк Светлана

Система ключевых задач в курсе планиметрии

Известно, что математическая задача служит не только целью, но и средством обучения.

Умение решать геометрические задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса планиметрии и умелом приложении своих знаний к конкретной задачной ситуации. Порой, учащиеся, зная и понятия теории, и содержание основных положений, испытывают затруднения в соотнесении всех этих знаний со структурой теории  в целом, т. е. в их знаниях отсутствует  именно эта система. Рассматриваемые ключевые задачи представляют формулировку факта или представление метода решения, часто используемого в других задачах.

Для каждой ключевой задачи рассматривается 3-4 приложения в задачах с намеченной канвой решения, заполняются пропуски в ходе решения и обсуждения, а также задачи для самостоятельного решения.

 Стоит подчеркнуть, самые « очевидные»  факты требуется строго обосновывать. Всегда обращаем внимание ,  что   начинаем решать  задачу с анализа  содержания условия задачи, развития её сюжетной линии,  Ссылаемся на используемые  методы решения, отслеживаем причинно- следственные связи    в рассуждениях.

Предлагаемые  задачи  можно использовать на элективных курсах или предлагать как практические задания  на занятиях в классах с хорошим уровнем подготовки.

 

Ключевая задача  №1. 

 О  параллельных   прямых, пересекающих стороны угла.

Если на одной стороне угла отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то будет прослеживаться пропорциональность образовавшихся отрезков. 

                         

Ясно, что соотношение (1) следует из подобия треугольников ОА1В 1 и ОА2 В2 (по двум  углам).

Докажите равенство (2)_____________________________________

1.1 Высота   CD   треугольника  АВС  делит  медиану  ВМ  в соотношении 3 : 1, считая от вершины В.

В каком соотношении СD делит  сторону АВ,  считая от вершины А? (рис2)     Рис.2.

 Решение:

Эта задача примечательна тем, что для использования ключевой задачи 1 требуется провести дополнительные построения.

Строим МК параллельно СD.  Ясно, что МК перпендикулярно АВ.

Рассмотрим угол САD ,  стороны которого пересекают параллельные прямые МК и СD. Тогда, поскольку АМ = МС, то АК = КD ( следует из  ключевой задачи 1  , равенство(    ), к углу______________).

То есть ВD /KD = 3/1;  ВD  = 3 KD.  Тогда AD/ BD=2KD/3KD = 2/3

Ответ: 2/3.

1.2

Построить отрезок  х  =  а2   / b, где а и в  длины данных отрезков.

Решение: Решение задачи на построение, как правило состоит из  четырёх этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

1.Анализ. На этом этапе предполагается, что искомый отрезок найден. Рассмотрим произвольный угол с вершиной О, стороны которого пересекают параллельные прямые АВ   и АВ ( см. рис.1)

Как в виде пропорции следует записать равенство х = а2 / b      

Какое равенство ключевой задачи следует использовать для решения этой задачи?___________________

Укажите на рисунке 1, каким образом следует расположить отрезки а, а, в   и  х  на сторонах угла?

2. Построение. Опишите  последовательность шагов построения искомого отрезка.

  1. ___________________
  2. ___________________
  3. ___________________
  4. ____________________
  5. ____________________
  6. ____________________

3 .  Доказательство. Докажите,  что построенный  отрезок  удовлетворяет условиям задачи __________

Придумайте задачи на построение с использованием соотношения(2) ключевой задачи 1.   Например. Постройте отрезки   а2 /b2,    abc /de , …  .                

 

1.1 В  остроугольном треугольнике АВС                                                                          

                                                                            Рис.3                                              

длины медиан ВМ, СN и высоты AH

 равны соответственно 4,5,6.              

Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:                                                                                 

1)ВМ=4,CN=5,AH=6/(по условию) ВМ пересекает СN в точке О

2) Для нахождения площади   АВС (                                          )нужно найти длину   ВС

3)Каждая из медиан ВМ и CN делится точкой О в отношении 2:1, считая  от вершин В и С ( следует из    )

ВО=8/3; СО=10/3    (  СО =                        )

Из точки О опустим  перпендикуляр ОК на ВС. Тогда из прямоугольных треугольников ОВК и ОСК по теореме Пифагора найдём

ВК и СК.

ВК2  =    (  8/3)2     -  ( ОК )2    ,   СК2       =(10/3)2  -( OK)2

4)Следующий шаг—нахождение длины ОК.

 Применяя    ключевую задачу  1 к углу  NCT  получим

ОК=___________NT, а NT=1/2 .AH

Значит, ОК=_________________AH, ВК=___________,  СК=_________

5)Таким образом,  ВС  = ВК+КС =______________

 

Sавс=1/2AH. BC= 2 +8              

(Из этой задачи выделим  факт, который  будем использовать в дальнейшем :  расстояние от точки пересечения медиан до стороны треугольника в 3 раза меньше высоты, опущенной на эту сторону)

 Задачи для  самостоятельного решения

1

В равнобедренном  треугольнике АВС (АВ = ВС ) ортоцентр делит пополам расстояние между центром описанной окружности и основанием. Определите косинус угла ABC

Ответ:2/3

2.

Длина основания АС треугольника АВС равна3, а медиана AD=4. Высота АЕ делит медиану AD пополам. Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ:  6

Ключевая задача 2

О медиане, проведенной к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

 

 

Рис.4.                                                                                                                                                                              Доказательство:                                                                    

   Используем метод удвоения медианы. Пусть CD - медиана. Продолжим медиану CD и от точки D  отложим отрезок DM = CD. Получим четырёхугольник ACBM (рис.4)

По определению, признаку или свойству параллелограмма следует, что ACBM-  параллелограмм?__________________ ,                                                                     

То, чтоACBM- прямоугольник, следует из ___________,

AD=BD=CD следует из_____________

Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром окружности, описанной около треугольника.

2.1 В треугольнике АВС медианы , выходящие из вершин А и С, взаимно перпендикулярны. Найти отношение медианы, проведенной  к стороне АС, к стороне АС .     ( рис.5)

 

Рис.5

Решение:                                                                                                                   

1)AK и СN - медианы( по условию)                                     

2)Проведём    прямую    ВМ до пересечения со стороной АС. ВТ-медиана, так как__________  .

Тогда   Т   – середина АС

3) Требуется найти    ВТ   / АС.

4)Треугольник АМС прямоугольный, МТ – медиана, проведённая из вершины

прямого угла. Тогда по ключевой задаче 2  МТ = АТ =  СТ  = х   и  АС = 2х .

5)ВМ=2х  (по___________________ )

ВТ /АС=3х/2х=3/2.

Ответ: 1,5

2.2 Периметр параллелограмма АВСD  80 cм. Биссектрисы углов  А и D  пересекаются в точке М,

такой ,  что  ВС  делит АМ

          Рис.6

пополам. Найдите стороны параллелограмма.

Решение: (рис. 6)                                   

1)Обозначим длины сторон параллелограмма АВ = а, АD  = в.  По условию, периметр параллелограмма равен 80 см. т. е.2(а + в) = 80, или а + в =40.                                              

2)АВ пересекает ВС   в точке К, DМ пересекает  ВС в точке N.                          

3)Треугольник АВК -  равнобедренный ( так как____________ ),

АВ =ВК = а.                                                                                                                                                                

4) Треугольник СDN – равнобедренный (так как___________ ) ,CD =CN  = а.                

5)АМ =DM- биссектрисы углов   А и D.  Тогда угол АМD прямой (так как________________ ).

6)Проведём АМ – медиану треугольника AMD. Тогда МТ пересекает  ВС  в точке S. Точка S  делит  КN  и МТ пополам ( так как_________ ) .

Из ключевой задачи 2 следует, что МТ =0,5,  АD =0,5в или ST =0,25в, но ST =a  ?(почему _______ )

а=_________, в= ______.

Ответ: а =_____,  в  =______.

2.3   В треугольнике АВС угол А равен 45, АВ =7, АС =4

 

Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АСА1  и ВАА1   где  АА   высота треугольника АВС.                                                               

 Решение:                                                                                                                                                                     

Пусть точка   О 1 –центр окружности,                                Рис.7                       

 описанной около треугольника АСА1 ,         

точка О2—центр окружности,            

 описанной около треугольника АА1В . (рис.7 )                                               

 Найдём длину О1О2:

Треугольники АСА1    и  АА1В – прямоугольные, отсюда О1  и О2   

-середины отрезков АС и  АВ  ( следует из ____________ ).

О 1О2 – средняя линия  треугольника АВС , тогда О1 О=1/2 ВС. По теореме косинусов для треугольника АВС найдём

ВС2 =АВ2 +АС2   2АВ АС2·7·4- 56=25.

ВС=5, О1О2    = = 2.5.

Ответ:2.5.

Задачи для самостоятельного решения

1.  Окружность, диаметром которой служит сторона АС треугольника АВ, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найдите отношение длины стороны АС к  длине проведённой к ней медианы.

Ответ: 2/3.

2.  Гипотенуза прямоугольника треугольника в 4 раза больше проведённой к ней высоты.  Найдите острые углы треугольника.

Ответ: 15 ,75.

3. Длина средней линии трапеции равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований.- 3. Углы при большем основании равны 30 и 60 градусов. Найдите основания трапеции и  её  площадь.

Ответ:

Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения