Редактор
Должность:Редактор
Группа:Мир учителя
Страна:Россия
Регион:Москва
21.04.2016
0
278
0

Свойство биссектрисы угла треугольника

Кочарова К.С.
Учитель математики
МОУ СОШ №15
г.Комсомольск-на-Амуре,Хабаровский край,Россия

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника». Данное свойство сформулировано в виде задачи № 535 учебника «Геометрия 7 – 9» авторов Л.С. Атанасяна и др. Считаю полезным запомнить это свойство как теорему. На протяжении нескольких лет аттестации учащихся в форме ЕГЭ предлагались задачи по планиметрии, которые при применении этого свойства решались бы легче. Мне хочется поделиться способом с применением данного свойства.

 Задача 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две высоты ВТ и АF. Известно, что АВ = 15, АК = 5, где К – точка пересечения этих высот. Найти площадь треугольника АВК (рис. 1).

Решение. Так как ВТ высота, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла В, то отрезок ВК – биссектриса угла В треугольника АВF.

1) По свойству биссектрисы , пусть .

2) Рассмотрим треугольник АВF. По теореме Пифагора

, так как , то

.

 .

3) ; .

         Ответ:  .

Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две высоты ВТ и СН, которые пересекаются в точке К. Найти площадь треугольника ВКС, если ВН = 12, НК = 4.

Решение аналогично задаче 1. – биссектриса треугольника .

Ответ:  .

Задача 3.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты  и АН пересекаются в точке Т, причем АТ = 10, ТН = 8. Найти площадь треугольника АВТ (рис. 2).

Решение.Так как  высота, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла В, то отрезок  – биссектриса угла В треугольника .

1) По свойству биссектрисы , пусть .

2) Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора

, так как , то . Следовательно .

3) , так как . .

         Ответ:  .

Задача 4. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 90, а боковая сторона равна . <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 12 ">  К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и , пересекающиеся в точке К. Найти площадь треугольника СКН (рис. 3).

Решение.

1) , , .

2) Из треугольника ,  ;  .

3) По теореме Пифагора , откуда .

4) Так как  высота, проведенная к основанию  равнобедренного треугольника АВС является биссектрисой угла С, то отрезок  – биссектриса угла С треугольника . По свойству биссектрисы , пусть , тогда

. .

;  .

Ответ:  .

Задача 5. Дан ромб с острым углом В. Площадь ромба равна , <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 12 "> а синус угла В равен. Высота СН пересекает диагональ ВD
в точке К. Найдите длину отрезка СК (рис. 4).

Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой угла, то  – биссектриса угла В, а значит и ВК – биссектриса угла В треугольника . Далее применяем свойство биссектрисы угла любого треугольника.

Ответ:  .

Замечу, что учащиеся часто находят площадь треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как показано в решении выше, основание и высота, проведенная к ней, на рисунке отмечены жирной линией.

Комментарии пользователей /0/
Комментариев нет...
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Наши услуги



Мы в соц. сетях

    Персональные сообщения